スタディサプリ 高3トップレベル数学Ⅲ 第6講 2次曲線と極座標 チャプター1、2|中学受験エリート

スタディサプリ 高3トップレベル数学Ⅲ 第6講 2次曲線と極座標 チャプター1、2

大学受験エリートのSuuです。

この記事では、スタディサプリの映像授業について、

「オススメの視聴法」

「授業のポイント」

などを、具体的に紹介していきます。

 

今回扱うのは、

高3トップレベル数学Ⅲ

第6講 2次曲線と極座標

です。

この記事では、チャプター1、2について扱います。

 

 

 

Chapter1

開始から4分0秒までが、問題(1)の解説です。

ここはウォームアップですね。

本番は、4分0秒以降です。

ここからすべて、問題(2)の解説です。

つまり、曲線Cのグラフをどうとらえるか?

の解説です。

 

曲線Cのグラフのとらえ方として、

①グラフを回転させて、標準形にする

②y=f(x)の形に変形して、気合でとらえる

③パラメータ表示を微分して、増減表をかいて調べる

の3つの方法が紹介されています。

 

4分0秒から11分20秒ごろの間が①、

11分20秒ごろから18分30秒頃が②、

18分30秒以降が③の解説です。

 

②の内容は、一つ前の講義の

高3 トップレベル数学Ⅲ 第5講

媒介変数で表された曲線 チャプター4

でほぼ同じ内容が解説されています。

 

③は、パラメータ表示された曲線の微分→増減表なので、基本事項です。

 

そうすると、このチャプターの内容で一番高級なのが

①グラフを回転させて、「標準形」にする

です。

ですが、この①の内容や計算式が、授業動画の中ではかなり省略されています。

そこでこの記事では、動画の中で省略されたこの①について扱いましょうか。

動画を見ていて、「結局、具体的にどういうことなん?」と疑問を抱えてしまった人向けに、詳細な計算を紹介します。

 

テーマ

2x2-2xy+y2=1

を回転させて、標準形に変えよう!

 

動画の内容に沿って行きましょう。

点(x,y)を、原点を中心にθ回転した点を(X,Y)とします。

複素平面の知識を使うと、

X+Y i=(cosθ+i sinθ)(x+y i)

が成立します。

 

Step1  xとyを、XとYの式で表す

少しテクニカルに行きましょうか。

『点(x,y)を、原点を中心にθ回転した点が(X,Y)』

ということは、逆に考えると

『点(X,Y)を、原点を中心に(―θ)回転した点が(x,y)』

と言えますから、複素平面の知識を使うと

x+y i=(cosθ-i sinθ)(X+Y i)

(※cos(-θ)=cosθ、sin(-θ)=-sinθ を利用しました)

この右辺を展開して整理すると、

x+y i =(Xcosθ+Ysinθ)+i(-Xsinθ+Ycosθ)

x,y,X,Yは実数だから、実部と虚部をそれぞれ比べて

x= Xcosθ+Ysinθ ……(Ⅰ)

y=-Xsinθ+Ycosθ ……(Ⅱ)

これが、xとyを、XとYの式で表した関係式です。

 

Step2 2x2-2xy+y2=1 をX,Yの式に書きかえる

2x2-2xy+y2=1 の左辺に、Step1で求めた関係式(Ⅰ)、(Ⅱ)を代入すると

2(Xcosθ+Ysinθ)2-2(Xcosθ+Ysinθ)(-Xsinθ+Ycosθ)+(-Xsinθ+Ycosθ)2

この式を整理すると、

(※ X、Yは文字、θは定数と考えて整理します)

(2cos2θ+2cosθsinθ+sin2θ)X2

 +(-2cos2θ+2cosθsinθ+2sin2θ)XY

  +(2sin2θ-2cosθsinθ+cos2θ)Y2

よって、XとYの関係式は、

(2cos2θ+2cosθsinθ+sin2θ)X2

 +(-2cos2θ+2cosθsinθ+2sin2θ)XY

  +(2sin2θ-2cosθsinθ+cos2θ)Y2

=1

(※ XYの係数

-2cos2θ+2cosθsinθ+2sin2θ

が0になるようにすれば、標準形になります!)

 

Step3 XYの係数が0になるように、θの値を定める

XYの係数が0になるときを考える。

-2cos2θ+2cosθsinθ+2sin2θ=0

sin2θ-2cos2θ=0

(※半角の公式を利用しました)

sin2θ/cos2θ=2

tan2θ=2

 

よって、

tan2θ=2

となるように、θの値を定めればよい。

(※動画の8分0秒から9分40秒の内容と、同じtan2θの値が出てきました!)

 

Step4 Step3で決めたθの値に沿って、X,Yの関係式を具体的に求める

Step2で求めたX,Yの関係式に、Step3で定めたθの値を代入すればOKです。

tan2θ=2のとき、

cos2θ=1/√5、sin2θ=2/√5

となります。

(θの値は、0からπ/2の間で考えればよいことを使いました。)

この値を利用して、Step2で求めた

(2cos2θ+2cosθsinθ+sin2θ)X2

 +(-2cos2θ+2cosθsinθ+2sin2θ)XY

  +(2sin2θ-2cosθsinθ+cos2θ)Y2

=1

の式を計算しましょう。

X2、Y2の係数は半角の公式を使えばsin2θとcos2θで表せますし、XYの係数は0になることに注意して計算すると、

 

X2の係数は

2cos2θ+2cosθsinθ+sin2θ=(3+√5)/2

Y2の係数は

2sin2θ-2cosθsinθ+cos2θ)=(3-√5)/2

 

よって、X,Yの関係式は

(3+√5)X2+(3-√5)Y2=2

(※分母を払いました。)

 

となり、これは確かに楕円の標準形になっています。

 

Chapter2

このチャプターの内容は、

高3 トップレベル数学Ⅲ 第5講

媒介変数で表された曲線 チャプター4

の内容とほとんど変わりません。

おさえるポイントも同じですので、

そちらに関して紹介した記事をご参考下さい。

 

 

この記事の内容は、授業動画の中で省略されていた計算の解説になってしまいました。

実は、この計算は初めて行いました。

(授業動画の先生と同じように、私も1次変換(線形代数、2次形式)で計算していました。)

複素平面を利用した計算も、三角関数が舞い踊っていて案外楽しいですね。

この記事の中に詳細な方針と、具体的な答えをのせておきました。

トップレベルを目指す皆さまは、ぜひ自分の手を動かしてチャレンジしてください!

 

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