スタディサプリ 高3トップレベル数学Ⅲ 第7講 よくある極限|中学受験エリート

スタディサプリ 高3トップレベル数学Ⅲ 第7講 よくある極限

大学受験エリートのSuuです。

この記事では、スタディサプリの映像授業について、

「オススメの視聴法」

「授業のポイント」

などを、具体的に紹介していきます。

 

今回扱うのは、

高3トップレベル数学Ⅲ

第7講 よくある極限

です。

 

Chapter1

大学受験の数学で使える極限公式の復習です。

念のため復習しているイメージですので、

『極限の公式なんてバッチリさ!』

というトップレベルの方は、このチャプターはスルーしてOKです。

 

動画で紹介された極限の公式をタイプ別に分類すると、

①rnのように、自然に分かるもの

②自然対数eの定義

③三角関数、指数関数、対数関数の微分から分かるもの

の3種類に分かれます。

①は暗記せずとも、考えればすぐに分かります。

②は……暗記でしょうね。

③は、覚えていなくても大丈夫です。

sinxのx=0での導関数、exのx=0での導関数、logxのx=1での導関数を、

定義に従って計算すると思い出せます。

 

Chapter2

問題(1)、問題(2)の解説です。

x/ex、en/ex の極限の扱いですね。

xの値が十分に大きいとき、

x << xn << ex

なので、

x/ex、en/ex はx→∞で0に収束する

のは、知識として知っていると思います。

な~~~んだ、いつものヤツかよ……

と残念に感じた人も、動画の5分0秒あたりからの処理は一度みておきましょう。

これぞテクニカル!という感じで面白いですよ。

 

なぜ、動画のテクニカルな置き換えがうまく行くのか、考察してみましょう。

xを2乗するとx2になり、この2つの関数は挙動が大きく異なる

exを2乗するとe2xで、この2つの関数の挙動は大差ない

という部分がミソですか。

べき乗に対する耐性(?)の落差をついたテクニックと言えますね。

「テクニック」とだけ覚えると、他のパターンで応用がきかなくなります。

「べき乗に対する耐性の差を利用した置きかえ」と、テクニックの本質部分を整理しておくのも大切です。

 

Chapter3

6分40秒までは問題(3)、

6分40秒以降は問題(4)を解説したチャプターです。

トップレベルを目指すなら、(3)や(4)も、

答えだけなら計算しなくても分かるようにしましょう。

x << xn << ex

のように、x→∞で

「ex」は「xn」より圧倒的に強い(?)! のですが、逆に、

「logx」は「xn」より圧倒的に弱い(?)!

です。

logx < < x < < xn << ex

というイメージですね。

 

問題(3)の式変形でおさえておくべきなのは、

対数関数logxを指数関数に変えたい

→ex=t とおく

の部分でしょうか。

指数関数と対数関数は、対応を逆向きに考えただけの逆関数ですから、

ちょっとした置き換えで簡単に変えられますね。

 

問題(4)は、二項定理を利用した計算が紹介されています。

私は、あまりこの証明は好きではないです。

(動画で紹介されているように、扱いが厄介な場面がありますから。)

 

一方で、16分30秒から紹介されている式変形は、超オススメです!!

私もこの計算が大好きですよ、先生。すごく分かります!!

ここで紹介されている式変形は、色々なところで使えますので、

この記事でも補足します。

皆さん、対数の「底の変換」は知っていますよね。

授業で使っている公式は、

指数関数の「底の変換」

と言えるものです。具体的には、

ba=calogcb

という計算です。

暗記する必要はまったくありません。

指数の底を変えたら、指数部分をどう変えたらいいのか?

を、考えればいいだけです。

底を違う数字にしたい……という場面は多く、結構汎用性があります。

具体的には、2xを微分するときなどに使えますよ。

(底の変換さえできれば、2xの微分は公式として覚える必要はないです。)

 

Chapter4

問題(5)、問題(6)、問題(7)の解説です。

あまり捻った計算はありませんが、

(7)のように、

「指数部分が複雑で厄介」

な数式は、対数を噛ませて指数から落とすのがセオリーでしたね。

(7)の解説では、最後に再び「指数関数の底の変換」が紹介されます。

やはりこの式、大変汎用性がありますね。

 

さて。

突然で恐縮なのですが、たまには、私から追加の問題を出してみましょう。

 

問題

sinx/(1+x)の、x→0での極限値を求めましょう

 

(答えは書きません!)

 

このチャプターでは、1つ大事な話が出てきています。

「不定形」

というワードです。これ、すごく重要です。

ここまで、色々な式変形を駆使して極限を計算してきましたが、

「不定形」の極限だから式変形をしている

ということを念頭に置いてください。

不定形でない極限は、そのまま計算すればいいんです。

 

極限を計算しよう!どう式変形したいいのかな?

……と考える前に、

この極限は不定形かな?

と考えるクセをつけて下さい。

先ほど、急に出題した

『sinx/(1+x)の、x→0での極限』

が解けなかった人は、大反省した方がいいですよ。

だってこれ、不定形じゃないんですから……。

 

(まだ、この問題が解けない人向けに、仕方なく答えを書いておくと、

0/(1+0)だから、0です。)

 

Chapter5

問題[B]の解説です。

チャプター2では、テイラー展開(マクローリン展開)は知らなくてもいいと先生が言っていた気がしますが……

やっはり、テイラー展開を喋りたかったみたいです 笑

先生、1/120が急に登場するのはやりすぎです 笑

この問題[B]は、解けなくても心配しなくていいですよ。

(誘導がついていたら、解けるようになりましょう。)

 

あとはロピタルの定理ですか。。。

これは色々と、意見がありますよねえ。

動画の先生も、「知っておいた方がいい」と感じていると思います。

①穴埋め式の試験で、とりあえず答えが分かればいい

②どーーーしても極限が計算できないとき、仕方なく使う

など、使った方がいい場面もあるかと思います。

(②のケースは、「すみません、どうしても分からなかったので、範囲外とは知りつつ使いました」とでも、答案の端で謝っておきましょう。)

ちなみに、①でも②でも、定理の前提条件はキッチリ勉強して使って下さい。

『何でもかんでも、分母分子を微分すればいい!』わけではないです。

 

(ちなみに、ロピタルの定理の証明ですが、使う道具は「平均値の定理」です。

数Ⅲでも習う定理ですから、頑張ればその証明も理解できるかも……とはなりません。

やはりロピタルは範囲外ですよね。)

 

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