【高校生の数学研究 その1】十の位が9である二けたの数どうしの積|中学受験エリート

【高校生の数学研究 その1】十の位が9である二けたの数どうしの積

こんにちは!

大学受験エリート 武蔵境校の運営スタッフ、プロ数学講師のSUUです。

 

今回は、Twitterでみかけた高校1年生の数学研究を紹介します。

テーマは、

十の位が9である二けたの数どうしの積

です。

 

91×96とか、95×97とか……

このような、十の位が9である二けたの数どうしの積について、

不思議な法則性を見つけたとのこと。

Twitterのツイートを発見し、早速SUUが突撃しました。

 

十の位が9である二けたの数どうしの積

Twitterでみかけた、高校1年生のノートです↓↓

 

ふむふむ。なるほど、内容をまとめてみましょう。

例えば、98×97なら、

①100と元の数の差を考えて、その二つをかける。

 98と97なら、

 100-98=2、100-97=3をもとめて、二つをかける

 2×3=6

 この数を、一の位からかく。

 (〇〇06)

②一の位の数字8と7を足して15

 この15を、千の位、百の位にかく

 (〇〇06→1506)

③千の位に8を加えたものが、98×97の答え

 (1506→9506)

 

学びに向かう姿勢が素晴らしい!

この高校生の方、良く自分で考えて見つけたなあ、と思います。

何よりも、次の(1)~(5)を実践した姿勢が素晴らしい。

(1)自分で課題を見つけて、

(2)自分で実験し、

(3)自分で法則を見つけて、

(4)自分の考えが他人に伝わるようにまとめる!

 

高校数学の勉強や、大学受験の数学対策といったレベルを飛び越えて、

数学の研究者に求められる姿勢です。

 

高校生が発見した法則を、証明してみよう

さて、数学の研究として扱うなら、

見つけた法則を証明する

という仕上げが残っています。

これから証明を書いていきますが、この記事を読んでいる皆さまは、

ぜひ一度自分で証明にトライしてみて下さい。

高校や、大学受験の数学の勉強としては、

こういった課題に自分でトライするのが重要です。

(…………)

 

(……みんなの挑戦をまっている時間……)

 

(…………)

 

そろそろいいでしょうか。

では、証明を今回の発見が正しいことを、証明しましょう。

(余談 数学で使う英語紹介

~を証明する→prove~、証明→proof)

 

 

Proof

十の位が9である二けたの数ふたつについて、その一の位をそれぞれ

p,q

とする。

十の位が9である二けたの数の積は90+p、90+qと表せるので、

その積は

(90+p)(90+q)

=8100+90(p+q)+pq

=(8000+100)+{(100-10)(p+q)}+pq

=8000+100(p+q)+100-10(p+q)+pq

=8000+100(p+q)+(10-p)(10-q)

となる。

 

8000+100(p+q)+(10-p)(10-q)

下線が、元の主張の手順と一致している。

(※10-p,10-qが、100と元の数の差と一致することに注意。)

100と元の数の差を考えて、その二つをかける。

 この数を、一の位からかく。

一の位の数字を足した数を、

 千の位、百の位にかく

千の位に8を加えたものが、元の2数の積

 

研究の姿勢 発展させた課題を考えてみよう!

証明もできたので、今回の研究課題はこれで終わり……

では甘いです!

むしろここからが本番なのです。

この法則をとっかかりに、さらに発展させた課題はないかな?

とドンドン考えていきましょうよ。

具体的には、今回は2けただったから……そうですねえ、

3けたの数ふたつの積ならどうなるのか?

など、気になりませんか?

例えば、998×997のように、

百の位、十の位がともに9である3けたの整数どうしの積

についても、面白い法則はないのでしょうか。

 

この研究課題は、皆さまへの宿題とします!

面白い法則が見つかりましたら、ぜひ公式Twitterにてご連絡下さい!

 

最後に、皆さまの研究のための資料として、

百の位、十の位がともに9である3けたの整数どうしの積

の計算結果をのせておきます。

(エクセル先生にお願いしたので、計算ミスはないはすです。)

ぜひご利用下さい。

 

百の位、十の位がともに9である3けたの整数どうしの積

991×991=982081

 

991×992=983072

 

991×993=984063

 

991×994=985054

 

991×995=986045

 

991×996=987036

 

991×997=988027

 

991×998=989018

 

991×999=990009

 

992×992=984064

 

992×993=985056

 

992×994=986048

 

992×995=987040

 

992×996=988032

 

992×997=989024

 

992×998=990016

 

992×999=991008

 

993×993=986049

 

993×994=987042

 

993×995=988035

 

993×996=989028

 

993×997=990021

 

993×998=991014

 

993×999=992007

 

994×994=988036

 

994×995=989030

 

994×996=990024

 

994×997=991018

 

994×998=992012

 

994×999=993006

 

995×995=990025

 

995×996=991020

 

995×997=992015

 

995×998=993010

 

995×999=994005

 

996×996=992016

 

996×997=993012

 

996×998=994008

 

 

996×999=995004

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