大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを、具体的に紹介していきます。
今回扱うのは、
高１・高２トップレベル数学ⅠAⅡB 第２７講
点と直線の距離
です。
この記事では、チャプター２，３を扱います。
チャプター１では、点と直線の距離の公式の証明を扱いました。
法線ベクトルをうまく使って、スマートに計算していましたね。
とはいえ、証明が大変な公式であることは確かです。
証明が大変な公式ほど、使ったときにショートカットしている議論・計算が多いので、公式の威力は大きくなります。
チャプター２、３で、点と直線の距離の公式の威力を鑑賞しましょう。
Chapter2
問題（２）の解説です。
冒頭の９分は「よくない計算例」の紹介ですが、このパートも面白いので視聴しましょう。
よくない計算でも、うま～～～く工夫して計算しています。
計算の工夫なのですが、具体的には
展開は最後までしない！
常に因数分解を狙う！
という姿勢を鑑賞しましょう。
展開と因数分解では、展開の方が「やればできる」ため、計算の難易度が低いと言えます。
いつでもできる展開計算をするのは、最後の最後。
これはもう、展開するしかないな……となるまで、展開せずに引っ張るのが上級テクニックです。
展開は上記のように我慢するのですが、一方で、因数分解は常に狙います。
どこかに括れる因数はないか？ をつねに考えるのが上級者の計算です。
トップレベルを目指す人は、
展開は最後まで我慢！
因数分解を常時警戒！
の呼吸を意識しながら、日々の計算を行いましょう。
よくない計算例が終わると、点と直線の距離の公式を使った処理の解説に入ります。
円と直線の位置関係は、
「半径」と「中心と直線の距離」で決まる
という内容は、一度は聞いたことがあるのではないでしょうか。
円と直線の位置関係は、この関係でスッキリ落とせることが多いので、
忘れないようにしましょう。
どうしても、交点の数→判別式 と処理する場面が多く、そちらに引っ張られがちです。
気持ち、よく分かります。
「円」限定で、スマートな計算があるんだ！
と、覚えておきましょう。
１７分ごろからの別解も面白いですね。
tangentの加法定理一発で、一刀両断！
カッコいいですね～。
役に立つかどうかよりも、
「カッコイイから、一度はやってみたい！」
と思える計算です。
傾き→tangentとして、tangentの議論に持っていくことは、
頭の片隅に常に欲しい発想です。
タンジェントの使い方も見事ですが、背景として。
円の接線の問題→図形的な性質が扱いやすい
とイメージしましょう。
円と接線が絡む問題を見たら、とりあえず図をかいてみるのもオススメです。
案外スッキリ、図形の性質から簡単に落とせることがあります。
Chapter3
問題（３）の解説です。
冒頭の５分が、この２７講お馴染み（？）の「やってはいけない計算例」です。
やってはいけない計算として紹介されていますが、
解と係数の関係の利用
（α－β）の２乗を、α＋βとαβで表す
など、重要な知識も出てきています。
ぜひ、飛ばさずに視聴して欲しいです。
個人的には、あのぐらいの計算なら、処理できるぐらいの腕力も欲しいかな……とも感じます。
（授業動画の先生も、たぶん思っていそうな気がします。たぶん。）
とはいえ、スマートに落とせる問題なら、スマートに落とせるようになりたいですね。
円と直線が絡んだ問題では、
①図をかいて考察してみる
②点と直線の距離の公式が使えないか疑う
というのを、クセにしましょう。
繰り返しになりますが、円と直線が絡むとき、図形的な性質がかなりハッキリしています。
複雑な計算を、図形の性質からショートカットできることが多いので、
①図をかいて考察してみる
をクセにして下さい。
とりあえず、
接点を見たら、中心と結んで、接線に直角マーク
弦を見たら、中心から垂線をおろす
の２つは、何も考えずにやってみましょう。
また、普段「交点の数→判別式」と考えることが多いのですが、円が絡む場合は
②点と直線の距離の公式が使えないか疑う
意識が重要です。
円と直線が絡んだ問題に対する①、②のコツは、高級なテクニックではありません。
むしろ、『ザ・教科書通り』といった内容です。
トップレベルを目指す人は、高級なテクニックに触れることも多いですね。
だから、たま～～～に、『ザ・教科書通り』をうっかりすることがあります。
いや、本当に。
『ザ・教科書通り』の解き方を見落として、複雑な計算の方針に進んでしまうと、ちょっと恥ずかしい気持ちになりますヨ。
きっちり意識して、注意しましょう。
チャプター２、３を通じて、点と直線距離の公式の威力は鑑賞できたでしょうか。
素晴らしく計算を簡略化できていましたね。
計算を簡略化できればできるほど、「ミス」の確率が減っていきます。
他の公式ではかえがききにくい、重要な公式です。
図形と方程式の単元は、この公式を学ぶためにあるようなもの（？）ですから、しっかり覚えて使いこなしましょう。