るるぶ高校数学 数Ⅰ ①数と式 その4 1次不等式|中学受験エリート

るるぶ高校数学 数Ⅰ ①数と式 その4 1次不等式

こんにちは!

大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の自学自習や復習をしたい人のために、

高校数学のみどころ、落とし穴、勉強ポイントなどを紹介する

るるぶ高校数学のコーナーです。

 

今回は、

数Ⅰ 数と式 その4 1次不等式

についてご紹介します。

 

「1次不等式を解く」こと自体は、そこまでハードルが高くありません。

中学1年生で勉強した、1次方程式の解法とあまり差がありませんからね。

 

厄介なのは、絶対値が絡んだ問題です。

否が応でも「場合分け」と立ち向かわないといけません。

「教わった解き方にそって、計算して、答えを求める!」

という意識だと、どうしてもつまづきがちです。

 

どうして場合分けが必要なのか?

に意識をめぐらせながら、計算の背景にある「ロジック」に注目して、

計算練習をしましょう。

 

この辺りから、「場合分け耐性」を上げておかないと、

後の2次関数で大変なことになります。

 

また、連立不等式の扱いや、1次不等式の場合分けでは

「または」と「かつ」の使い分けを要求されます。

論理と集合を本格的に学ぶ前なので、この段階で理解するのは難しいかもしれません。

こちらについては、「そういうものだ」で無理やり納得するのも一案。

 

ポイント① 1次不等式の解法 負の数をかけると、不等号の向きが変わる

1次不等式の解法でおさえるべきは1つだけです。

負の数をかけると、不等号の向きが変わる

ことが分かっていればOK。

それ以外は、中学1年生の1次方程式の解法と変わりません。

 

これは、非常に基本的な計算です。

計算練習を繰り返して、しっかり「体で」覚えましょう。

 

一方で、後の絶対付きの問題への対応や、今後さらにハイレベルな問題への対応を考えると、

ロジックの部分もおさえておきたいですね。

つまり、

負の数をかけると、不等号の向きが変わるのはなんで?

を理解しておきましょう、ということです。

 

理屈自体は単純で、

2 < 3

-2 > -3

の2つを見比べてみましょう。

正の数どうしの比較は、絶対値が大きい方が大きい

負の数どうしの比較は、絶対値が小さい方が大きい

となっています。

なんとなく、負の数をかける……つまり、符号が変わると、

大小関係が逆転することがイメージできると思います。

 

なんでこんな話をするのか? ですが、後々、次のような不等式の処理を扱うことになります。

2 < 3

1/2 > 1/3

逆数をとると、不等号の向きがひっくり返りますね。

分母が大きいほど、分数全体としては小さくなる、とも言えます。

……こういう知識が、「特にちゃんと説明されることなく」急に出てきます。

あるいは、ちゃんと習ったこともないのに、使いこなすことを急に要求されます。

そういうときにビックリしないためには、

不等号の向きについて、自分の頭で考える

訓練が大切になります。

取り組みやすいこの段階で、しっかり意識して勉強するのがオススメです。

 

ポイント② 場合分け 絶対値を外すとき、文字をかけるとき

いよいよ、場合分けが本格的に出てきます。

大学受験の数学を乗り切るためには、

自力で場合分けを考える

力が求められます。

ただ、最初はそこまで気負わずに行きましょう。

勉強したパターンの場合分けを、しっかり処理できる

ことから目指しましょう。

 

ただ、わけもわからずパターン暗記をしているのも効率的ではないので、

「場合分けの理由」とセットで覚えるのが大切です。

 

A. 絶対値付きの1次不等式

「絶対値」を見たら、

場合分けをして、絶対値を外す

のが基本だと思って下さい。

(補足:2乗して絶対値を消し飛ばすなど、別の方法が使える場面もありますが、

基本は場合分けです。)

 

そして、「場合分けの理由」もセットでおさえます。

 

絶対値が出てきたけれど……

→絶対値があると、他の部分とまとめたりできず困る

→計算のため、絶対値を外したい

→絶対値は、中身の正負で外し方が異なる……

→あれれ、絶対値の中身の正負が、文字になっていて分からないぞ?

→仕方ないから、絶対値の中身の正負で場合分け

赤字にした部分、最後の2つが重要です。

これが、「場合分けの動機」にあたります。

 

基本的に、場合分けをする動機は

〇〇が分からなくて困っている

から来ます。

〇〇が分からないから、〇〇の値・条件で場合分けしよう

と考えて場合分けをするので、最初の動機部分が掴めないと、

自力で場合分けができるようになりません。

 

B.文字をかける・割るときの場合分け

これも、「場合分けの動機」を意識します。

 

両辺にaをかけて分母を払いたいなあ

→かける数の正負によって、不等号の向きを変えるかどうかが変わるのだけど……

→あれれ、かける数aが文字で、その正負が分からないぞ?

→仕方ないから、aの正負で場合分け

という流れで考えます。

最後の赤字部分が、

場合分けの動機→場合分け

の流れです。

ここでも、

〇〇が分からなくて困るから、〇〇で場合分け

という流れであることに注目しましょう。

 

ついでに、このパータンの場合分けでは、

「錯覚」との戦い

も重要です。

文字aを見たときに、

aは正かもしれないし、負かもしれないし、0かもしれない……

ときちんと認識できるかどうか、ということです。

錯覚との戦いについては、前回の記事に詳しくかきましたので、

そちらも参考にして下さい。

https://juku-elite.com/contents/id/191/

 

 

問題の解き方や、場合分けの仕方自体は、パターン暗記でも十分です。

最初ですからね、いきなりすべてを理解する必要はありません。

ですが、演習をする際には

場合分けの動機 〇〇が分からなくて困っている

の部分には、必ず注目して下さい。

本当にただのパターン暗記で終わるか?

重要なポイントを意識しつつ、パターンを覚えるか?

この差が、後々大きな実力差になっていきます。

 

 

ポイント③ 数直線での解の扱い

連立不等式や、場合分けが絡む不等式では、

数直線を使って解を考察する場面が出てきます。

これ、地味に分かりにくい部分です。

「または」と「かつ」について精密に学習していないことが原因です。

 

説明や用語も、人それぞれかもしれませんね。

共通部分……両方ともが成り立つところ

合体部分……どっちかが成り立つところ

の2パターンがあるんだぞっ、ということは意識しましょう。

問題はこの2つの使い分けなのですが、今の段階では、

「この問題の、この部分の計算では、こっちを使うらしい」

という暗記で誤魔化すのも一案です。

もしも、最初からすべて理解人は……

やはり、「または」と「かつ」という言葉で理屈を整理したいですね。

どこが「または」なのか?

どこが「かつ」なのか?

を意識しましょう。

「または」のときは合体部分、「かつ」のときは共通部分を使うのが、

2つを使い分ける基準です。

 

 

1次不等式の計算自体は、あまり難しくありません。

ですが、絶対値や場合分けが絡むだけで、難易度が跳ね上がります。

恐ろしいですね。

これぞ高校数学、という感じです。

 

残念なことに、絶対値や場合分けからは逃げられません。

どこまでも、どこまでも付いてきます。

逃げたくなる気持ちをグッとこらえて、今の段階でしっかり向き合い、

克服していくことを強くオススメします。

絶対値・場合分けが、サインやコサイン、微分積分などの、

更に厄介な連中とつるむ前の、今が一番の練習チャンスですよ!

 

 

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