るるぶ高校数学 数Ⅱ ①式と証明 その1 二項定理(覚え方編)|中学受験エリート

るるぶ高校数学 数Ⅱ ①式と証明 その1 二項定理(覚え方編)

こんにちは!

大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の見どころ、落とし穴、勉強のポイントを紹介していく

るるぶ高校数学のコーナーです。

 

今回は、

数Ⅱ 式と証明 その1 二項定理(覚え方編)

です。

 

いよいよ、数Ⅱに来ましたね。

式と証明の単元から観光していきましょう。

 

この「式と証明」ですが、単純に言うと「計算問題いろいろ」を扱う単元です。

こう書くと簡単そうに感じますが、そうではありません。

大学入試の数学における、実戦級の計算を多々学習する単元です。

 

ここで言う実戦級とは、

「標準問題や、難問を処理するための、キーとなる式変形」

という意味です。

 

そのため、この数Ⅱの『式と証明』を学習するときには、

㋐計算そのものをスムーズにできるよう、練習する

㋑その計算をする目的や意味を知っておく

の2点を重要視して下さい。

㋐は当然ですね。計算がメインの単元ですから。

問題は㋑の方です。

この式変形にどういう効果があるのか?

どういう場面で、何を狙って式変形をするのか?

を知っておくと、後々の実戦演習で役に立ちます。

とはいえ、いきなり㋑までマスターするのは難しいです。

まずは、㋐の部分。

スラスラと計算ができる!

を目指して、キッチリ計算練習を積みましょう。

 

 

さて、そろそろ今日の話題、「二項定理」について扱いますか。

二項定理は非常に重要な公式なのですが、

そもそも式の意味が分からない

という人が続出する難関な公式です。

そのため、今回は「覚え方編」として解説していきます。

 

 

ポイント① 二項定理の『式の見方』

非常に重要な定理である、二項定理を学習します。

(a+b)n

=nC0anC1an-1b + nC2an-2b+ …… + nCn-1abn-1 nCnbn

というのが二項定理です。

 

は~~~い、そこっ!

逃げない!!

見た目が凄まじく、逃げ出したい気持ちは分かります。

でも、これから「この式を習得するためのコツ」を紹介しますから。

少しだけ、一緒に頑張りましょう。

 

まず、「暗記 or 理解」以前に、「式の意味」をとらえましょう。

急にすごい公式が出てきてビックリしましたよね。

まず、今まで学んだ公式たちを見て、

ちょっと気持ちを落ち着けましょうか。

 

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

……

 

ん? 4乗は習ってないって?

4乗はただのオマケなので、あまり気にしないで下さい。

さて、この公式たちを少しいじってみます。

 

(a+b)2=1×a2+2×ab+1×b2

(a+b)3=1×a3+3×a2b+3×ab2+1×b3

(a+b)4=1×a4+4×a3b+6×a2b2+4×ab3+1×b4

……

 

隠れていた「1×」を引っ張り出して、文字の部分と数(係数)の部分を色分けしました。

青くした係数の方に注目してください。

さて、もうちょっと改造しましょうか。

 

(a+b)2=2C0×a2+2C1×ab+2C2×b2

(a+b)3=3C0×a3+3C1×a2b+3C2×ab2+3C3×b3

(a+b)4=4C0×a4+4C1×a3b+4C2×a2b2+4C3×ab3+4C4×b4

……

 

急に出てきた「C」ですが、これは組合せで習ったCです。

例えば、

4C2=4×3/2×1=6

です。

具体的な数字だった公式と、「C」を使った公式を見比べて下さい。

1つひとつ計算してみると、実は係数の値は一致していて、「C」で表した公式が正しいことが分かります。

(実際に計算して確かめてみて下さいね。)

 

そして、これが2項定理です。

今まで習ってきた公式を、「C」を使って表現した

と捉えましょう。

 

さらに、2乗、3乗、……では飽き足らず、

「一般のn乗」について記述したのが二項定理です。

 

(a+b)n

=nC0anC1an-1b + nC2an-2b+ …… + nCn-1abn-1 nCnbn

 

いかがでしょうか。少しは雰囲気が掴めましたか。

最初のうちは慣れなくて仕方ないです。

ですが、今まで習った2乗、3乗……の展開公式の仲間、

似た公式として見えるよう、訓練しましょう。

この『式の見方』ができないと、「暗記派」も「理解派」もお手上げになってしまいますからね。

 

ポイント② 二項定理を覚えるコツは、『法則性』に注目すること

二項定理の、「式としての意味」はなんとなく見えるようになりましたか?

くり返しますが、2乗、3乗……の公式の仲間として理解してくださいね。

さて、式が見えるようになったら。

この二項定理を覚えましょう。

 

は~~~い、そこっ!

逃げない!!

分かります、気持ちは分かります。

でも、これから「覚えるコツ」を紹介しますから。

少しだけ、付き合って下さいよ。

 

左辺は、いいですね。

(a+b)2,(a+b)3,……たちの親玉として、(a+b)nを考える。

問題は右辺です。

右辺の各項を縦に並べて書いてみましょう。

 

nC0an +

 nC1an-1b1 +

 nC2an-2b+

…… +

 nCn-1a1bn-1 +

 nCnbn

 

変化しない部分を黒、変化する部分を赤と青で色分けしました。

ついでに、隠れていた「1乗」も引っ張り出しています。

赤字→1ずつ数字が増えていく

青字→1ずつ数字が減っていく

という法則性が見えますか?

ついでに、

赤字+青字=n

というのも重要な法則性です。

この3つの法則に注目するのが、二項定理を覚えるコツです。

(補足1 a0=1のような式に慣れた人は、a0、b0を補うのも面白いので、チャレンジしてみましょう。)

(補足2 変化する部分、変化しない部分にわけて整理するのは、数列の「Σ計算」でも重要です。コッソリ覚えておきましょう。)

 

 

いかがだったでしょうか。

二項定理は、

そもそも公式の意味が不明

複雑すぎて覚えられない

の二重の観点で、難易度が高いです。

まずは、覚えられないと始まりません。

式の見方ができて、式の意味が分かる

公式の法則性が分かる

ができると、案外覚えられるようになります。

 

数Ⅱの最初から大変ですが、なんとか頑張りましょう!

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