るるぶ高校数学 数B ①数列 その7 色々な数列(階差、群数列)|中学受験エリート

るるぶ高校数学 数B ①数列 その7 色々な数列(階差、群数列)

こんにちは!

大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の勉強法、見どころ、落とし穴を紹介する、

るるぶ高校数学のシリーズです。

 

今回は、

数B 数列 その7 色々な数列(階差、群数列)

です。

前回

 

そろそろ、数列の記号には慣れてきましたか。

添え字や「……」を含んだ式が頻出して、最初はしんどいですね。

ですが、この辺りから上記の表現には慣れておかないと苦しくなります。

シグマ計算にも慣れていきたいところですが、

こちらは時間がかかります。

シグマ記号をサクサクと使えるようになるのは、

入試実戦演習をする段階でも大丈夫です。

今のうちから、コツコツ訓練していきましょう。

 

さて、今回は階差数列・群数列について紹介します。

等差・等比と比べると、少々厄介な数列です。

数学的な概念として難しいというよりは、

「処理に手間がかかる」

ためです。

そのため、演習量が大切な内容になります。

 

ポイント① 階差数列の公式で「記号への慣れ」をチェック

数列anに対して、隣り合う2項の差を並べた数列階差数列といいます。

 

例えば、

1, 2, 4, 7, 11, 16 , ……

の隣り合う2項の差は

1, 2, 3, 4, 5, ……

となっています。

これが、元の数列の階差数列です。

 

さて。この定め方を聞いて。

anの階差数列をbnとすると、

bn=an+1-an

という関係式がパッと浮かびますか?

あるいは、関係式の方をみて、

bnの意味がパッと浮かびますか?

 

この「関係式」と「意味」の変換を、スムーズに行える必要があります。

「数式の記号に慣れている」とは、そういう状態です。

 

いきなり、そんなことはできないよ……という人のために、

さきほどの

1,2,4,7,11,16,…

で考えてみましょう。この数列をanとします。

 

隣り合う2項の差を順番に計算しましょう。

2-1=1

4-2=2

7-4=3

11-7=4

16-11=5

……

この数が、階差数列bnです。

b1=1, b2=2, b3=3, b4=4, b5=5, ……

ということですね。

さて、今の計算を「数列の記号anを使って表現します。

 

a2-a1=b1

a3-a2=b2

a4-a3=b3

a5-a4=b4

a6-a5=b5

……

 

これらの関係式を、文字nを使ってまとめて書きましょう。

赤字にした、添え字の数字に注目しましょう。

同じ番号は同じ文字で、1つズレた番号は+1で表現すればよいので、

an+1-an=bn

と書けます。

元の階差数列の数式表現にたどり着けました。

 

文章にすると、中々に長く、重たい内容です。

ただ、数列の「その1」から注意していることですが、

この変換がサラサラとできることが重要です。

そうですね……今の階差数列の数式と意味の変換が、

「0.1秒以下の時間で、すぐに分かる・できる」

ラインが目標です。

今からでも遅くはないので、この点を意識しながら数列の勉強をしましょう。

 

ポイント② 階差数列の一般項は、等比数列の一般項の応用

anの階差数列をbnとすると、anの一般項は

an=a1+Σbk

となります。

(Σで足す範囲は、k=1からn-1まで)

 

この公式は、等差数列の一般項と同じ考え方をしています。

等差数列は、

anは、a1に公差dを(n-1)回足したもの

だから、

an=a1+d(n-1)

と考えました。

 

同じ要領で、階差数列の場合は

anは、a1にb1,b2,b3,……,bn-1を足したもの

だから、

an=a1 + (b1+b2+b3+……bn-1)

と考えます。

これをΣ記号で表したのが、階差数列の一般項の式です。

 

いちいち暗記するような式ではありません。

階差数列の意味から、ただちに従います。

ですが、

ベースとなる等差数列の一般項の考え方

シグマ記号

の2つに対して、習熟していないと、理解ができません。

 

だから、繰り返し

公式暗記ではなく、意味を理解する訓練をしよう

等差数列の一般項の公式は、暗記したら負け

と主張してきました。

上記の視点を甘く見ていた人は、この辺りから苦しくなります。

今からでも遅くはありませんから、上記2点に注意して、

数列の勉強をやり直しましょう。

 

ただし、階差数列の公式は注意点があります。

それは、

n≧2 でしか成立しない

ことですね。

こういう細かい注意点があり、ウッカリしやすいです。

そのため、大学入試の実戦の観点からすると、

可能ならば回避したい計算

と思ってOKです。

 

ポイント③ 群数列は、情報整理能力が問われる

1, | 2, 3 | 4, 5, 6, | 7, 8, 9, 10, | 11,……

のように、グループ分けされた数列群数列といいます。

「|」を使って、グループ分けの境目を表しています。

難しい漢字が使われているのが地味に厄介(?)です。

「群」というのは、「グループ」「集まり」という意味です。

「郡」ではないので、地味に注意。)

「第2群」みたいな言い方が出てきますが、

「2番目のグループ」という意味です。

 

群数列の問題ですが、

「情報整理能力」

が問われます。

 

具体的には……

第〇グループで、数が何個あるの?

第〇グループの、最初と最後の数は何?

第〇グループの、最初の数は全体の数列では何番目?

などの情報を、丁寧に処理して、まとめていきます。

 

必要な情報は問題によって異なりますが、

各グループの、最初と最後の数の規則性に注目する

と、整理しやすくなります。

先ほどの

1, | 2, 3 | 4, 5, 6, | 7, 8, 9, 10, | 11,……

なら、各グループの最初の数は

1,2,4,7,11,……

となっていて、この数列の階差に注目するのが1つの攻め方になります。

(この場合は、各グループの個数から攻めた方が楽ですが。)

 

群数列ですが、全体↔各グループの変換に伴って、

添え字を取り換えたり、添え字を変換したり

という作業が発生します。

そのため、添え字の取り扱いに習熟していないと、

ただ混乱するばかりで、群数列に対して歯が立ちません。

 

群数列でも、

「記号への慣れ」

が問われているという点は、意識しましょう。

 

 

数列の中盤戦と言える階差数列・群数列ですが、

序盤の等差・等比数列での学習姿勢が問われています。

序盤を公式暗記で乗り切ろうとした人は、

残念ながら階差・群数列で脱落する可能性が高いです。

そしてそのまま、終盤の漸化式・数学的帰納法でも壊滅します。

 

階差・群数列で困った人。

「記号の意味」を理解する練習をおろそかにしていませんでしたか?

この記事の勉強ポイントを「その1」から見直して、

数列の勉強法を見直しましょう。

 

次回ですが、数列の終盤戦に入る前に「基本」の振り返りを入れる予定です。

終盤で出てくる漸化式・数学的帰納法で困らないよう、

念のため「基本」の確認をもう一度やりましょう。

お楽しみに!

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