るるぶ高校数学 数Ⅰ ③2次関数 その2 2次関数のグラフ|中学受験エリート

るるぶ高校数学 数Ⅰ ③2次関数 その2 2次関数のグラフ

こんにちは!

大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の勉強法、落とし穴などを紹介する

るるぶ高校数学のシリーズです。

 

今回は、

数Ⅰ 2次関数 その2 2次関数のグラフ

です。

前回

 

前回の内容は大丈夫でしょうか。

関数って何?

グラフって何?

と聞かれて、パッと答えられない人は危険信号です。

先に進む前に、じっくり前に戻って基本の確認をした方がいいです。

 

さて、それでは

2次関数 ax2+bx+c

の内容に入っていきましょう。

 

導入の仕方は色々あるかもしれませんが、

平方完成→グラフをかく

という流れを練習するのは共通のハズです。

 

まずは、この流れを徹底練習しましょう。

前回の記事と真逆のようですが……

さしあたり、「意味」なんて忘れてOK。

なんでこれでグラフがかけているのか?

も気にしなくてOK。

まずは、

サクサクと平方完成ができて、グラフがかける

ことが大切です。

 

理論的背景は、後からじっくり理解するスタイルで大丈夫です。

 

 

ポイント① 平方完成

まずは、「平方完成」を習い、練習するはずです。

平方完成ですが、

x2+2x+2

=(x+1)2-1+2

=(x+1)2+1

とする式変形です。

 

平方完成は、2次関数だけでなく、

今後も色々なところで登場する式変形です。

式変形の目的を確認しておきましょう。

 

(〇の2乗)+(〇の1乗)+△

を、

(◇の2乗)+△

の形に変形するのが平方完成です。

 

「2乗でまとめる」と言うのが、

一番イメージしやすいと思います。

2乗でまとめたいなあ……と感じたときに使います。

 

(上級者向け(?)に、私のイメージも伝えておきます。

「1次の項を消す」感覚で平方完成をとらえています。

「1次の項が悪さをしている」と感じたときに、

平方完成を使用します。

実際、文字の置き換えで1次の項のない2次式なるので、

この捉え方が本質と信じます。)

 

今すぐは、その有用性が分かりにくい式変形です。

ですが、今後本当によく使うので、

サラサラと平方完成ができるよう練習しましょう。

 

ポイント② 平方完成は暗記なんかしない!

平方完成を一般的に表すと、

ax2+bx+c

=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a

となります。

たまに、この一般的な変形を覚えようとしている人がいますが……

覚えないでください。

平方完成は、何1つ暗記しません。

 

平方完成は、

「だったらいいな」と考えて

後から調整する

という式変形の練習に使いましょう。

 

どうことか。

x2+2x+2

の平方完成で説明します。

 

まず、

(x+〇)2形にできたらいいのにあ

という「願い」からスタートします。

x2+2x+2

のうち、

x2+2x

のところだけ眺めます。

(この、2次と1次の項だけ眺めるのが平方完成のポイントです。)

そして、

(x+1)2とすると良さそう!

と考えます。

(x+1)2を展開すると、x2+2x+1です。

ほら、2次の項と、1次の項は元の式と一致していますよ。

「だったらいいな」という願いから、ここまで進みます。

 

次に、後から調整するパートです。

x2+2x=(x+1)2

としたい。したいのですが、これは明らかに間違いです。

そして、この式に手を加えて正しい式にします。

左辺はx2+2x、右辺は展開するとx2+2x+1

このズレを調整するには……右辺の「1」が余計なので……

x2+2x=(x+1)2-1

とすればいい!

これなら、正しい式ですね。

 

このように考えて、

x2+2x+2

=(x+1)2-1+2

と計算します。

後は、定数項をまとめてあげます。

 

はい、長いですね。

この、

「だったらいいな」から始めて、後から調整して……

x2+2x+2

=(x+1)2-1+2

と計算するまでの思考。

これが一瞬でできるように練習しましょう。

 

最初は時間がかかると思います。

ですが、毎回毎回、意識しながら練習していくと段々と早くなっていきます。

最終的には、上記の思考をするのに1秒もかからないようになります。

 

平方完成自体も頻出ですし、「だったらいいな」の式変形も実戦で重要です。

今、この段階でキッチリ練習することが大切です。

 

 

ポイント③ まずは機械的にグラフをかけるようになろう

平方完成ができれば、グラフはすぐにかけます。

教科書や先生の説明の通りに、

x2+2x+2

=(x+1)2-1+2

=(x+1)2+1

と変形したら、

頂点が(-1,1)、下に凸な放物線をかいてあげましょう。

 

ここの理論背景には、色々な重要事項が詰まっています。

いずれは理解するのですが、一旦はスルーでOKです。

 

平方完成→グラフを丁寧にかく

の流れを、ガッツリ練習しまくりましょう。

もう、機械的にサクサク練習してOKです。

 

ポイント④ 平方完成したら必ず検算!

大切な注意が抜けていました。

平方完成をしたら、必ず検算をしましょう。

 

x2+2x+2

=(x+1)2-1+2

=(x+1)2+1

 

と計算したら、必ず展開して元に戻るか、確認します。

ちょこっと、頭の中で展開して計算するだけです。

もう、これはクセにしましょう。

 

平方完成ですが、色々な問題を解くときの「初動」として行う計算です。

今の単元なら、グラフをかくための「初動」として行います。

そのため、

平方完成で計算ミスをする→以降の計算がすべてムダ

となります。

 

どれだけ勉強していても、どれだけ素晴らしいアイデアが浮かんだとしても、

平方完成をミスしただけですべて水の泡です。

そういう重要な計算のため、必ず検算をするクセをつけましょう。

 

普段の定期テスト対策から、難関大学の入試対策まで、

すべてで重要な内容です。

必ず、この検算をクセにするよう、普段の練習から意識して下さい。

普段からやっていれば、どんどん慣れていきます。

練度が上がれば1秒もかからず確認できます。

目に見えませんが、

数学が得意な人ほど、こういう検算を一瞬で行っています。

(あるいはもう、無意識に行っているかもしれません)

 

 

いかがでしょうか。

前回から一転、まずは理解よりも「できる」に重点を置きましょう。

平方完成さえできれば、グラフをかくのは難しくありません。

そのため、メインディッシュは平方完成にあります。

 

ただの計算だと侮らないように!

「だったらいいな」の考え方

検算のクセ

など、表に出てこない重要なポイントが隠れています。

こういうところを「意識するか、意識しないか」で、

じわじわと数学力の差が出てきます。

きっちり、神経の通った計算練習をしていきましょう。

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