大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを紹介していきます。
今回は、
高１・高２ トップレベル数学ⅠAⅡB 第４４講
A＝BQ＋Rについて
です。
この授業動画は、第４３講と同じテーマになっています。
ぜひ、４３講の内容をおさえたうえで視聴しましょう。
Chapter1
問題（１）を扱ったチャプターです。
まずは、堺先生の素晴らしい計算腕力を鑑賞しましょう！
展開の計算方法も工夫されているので、じっくり視聴したいところです。
堺先生の計算のカラクリですが、
各項の係数を工夫して並べているだけです。
イメージとしては、かけ算の筆算に近いです。
非常に有用なので、
かけ算の筆算を習うのに、展開の筆算はなぜ習わないのか？
と感じたぐらいです。
トップレベルを目指す人は、こういう細かい技術も積極的に盗みましょう。
腕力で落とす方針の後は、
x3+1の因数分解に注目した計算が紹介されています。
慣れないうちは中々大変だとは思いますが、
x3+1で割った余りを考える
→x3+1のカタマリを作っていく
というイメージで計算するといいです。
3で割った余りを考えるときに、3の倍数を固めていくのと感覚は同じです。
堺先生の２通りの計算は、どちらも大切です。
しっかりと習得していきましょう。
……さて、せっかくこの記事を見てくれた皆さまには。
もう１つ、魔法の計算もご紹介します。
（記述答案などでは使えませんので、ご注意下さい。）
x3+1で割った余りを考えるときは、
x3+1=0 と考えていい
というルール（？）があります。
移項して、
x3=-1
として計算してOKです。
これを使うと、
{(x+1)(x-2)(x2-x+2)}2
={(x-2)(x3+1+x+1)}2
とするところまでは授業動画と同じなのですが、
この後の見通しが立てやすくなります。
３乗以上の項が出てきたら、どんどんx3=-1を代入してしまいましょう。
{(x-2)(x3+1+x+1)}2
={(x-2)((-1)3+1+x+1)}2
={(x-2)(x+1)}2
=(x2-x-2)2
=x4+x2+4-2x3+4x-4x2
=(-1)3x+x2+4-2(-1)3+4x-4x2
=-3x2+3x+6
２次以下の項のみになったら、それがそのまま余りです。
本質的には授業動画の計算と同じですが、
余分な項が出ない分スッキリします。
Chapter2
問題（２）を扱うチャプターです。
最初の因数分解が見えないと、中々厳しいと思います。
因数分解が浮かばなかったときのために、別の作戦も紹介します。
作戦① 魔法の計算で答えだけ出す
チャプター１で紹介した「魔法の計算」を使うと、
x3-1で割った余りを考える
→x3-1=0 と思っていい
→x3=1と思っていい
だから、
x3m+1
=(x3)m+1
=1m+1
=2
と、余り２を求めるだけならこれが最速です。
作戦② 複素数の範囲の因数分解を使う
これもちょっと知識が必要です。
複素数の範囲の、「１の三乗根ω」を使うと、
x3-1=(x-1)(x-ω)(x-ω2)
と因数分解できます。
あとは、割った余りをax2+bx+cとおいて、
A=BQ+Rの形に
x=1,ω、ω2
を代入します。
第４３講座の考え方ですね。
作戦②は意外と汎用性があります。
「x2+x+1で割った余り」の問題でも問題なく使えるのが自慢です。
ちょっとネックなのが、
１の三乗根ω
の扱いに慣れていないと厳しい点です。
逆に言うと、ωの扱いにさえ慣れていれば、
意外とサクサク処理できます。
トップレベルを目指す人は、ぜひωを使った解法にもチャレンジしてみましょう。
Chapter3
問題（３）、（４）を扱うチャプターです。
問題（３）は、第４３講の内容そのままで解けます。
ポイントがあるとすれば、「n乗」にびびらないことぐらいでしょうか。
問題（４）は工夫が必要です。
授業動画で説明されているような、
(x-2)についての展開
はカッコいいですね。
この問題に限らず、
(x-α)を文字だと思って、整理する
ということは意外とよく使います。
二項定理の利用もしっかり観察しましょう。
問題（４）だけを見ると不思議な感じがするかもしれません。
１つ補足をしておくと……
xで割った余り
x2で割った余り
x3で割った余り
……
を、具体例で実験するとよいです。
やってみると分かりますが、
xmで割った余り→割られる数の、m-1次以下の項
となるだけです。
このイメージがしっかりしていると、授業動画の解法も納得しやすいと思います。
また、数Ⅲの内容を使っていいのなら、
「微分の利用」
も有効です。
こちらは、難しいことは考えずにシステマティックに処理できるのが自慢です。
割る数が
(x-2)2
のように「〇乗」になっている場合に使います。
xn＝Q(x-2)2+ax+b
とおいて、
x=2を代入
両辺を微分して、x=2を代入
とします。
ちょっとテクニカルな式操作が多く、慣れるまでは大変な問題だと思います。
この記事で紹介したような別のアプローチも手札にあると、
実戦で迷う可能性が減ります。
トップレベルを目指す人は、ぜひ色々な解法を吸収しましょう。