るるぶ高校数学 数Ⅰ ③2次関数 その9 解の配置問題|中学受験エリート

るるぶ高校数学 数Ⅰ ③2次関数 その9 解の配置問題

こんにちは!

大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の勉強のポイント、見どころなどを紹介する

るるぶ高校数学のシリーズです。

 

今回は、

数Ⅰ 2次関数 その9 解の配置問題

です。

前回

 

いよいよ、2次関数の最終回です。

グラフかきから始まり、色々な角度で2次関数を扱ってきました。

場合分けが絡んだ最大・最小問題など、難しい問題もここまで出会いましたね。

 

今回は、「解の配置問題」へアタックしていきましょう。

『2次方程式〇〇が、異なる2つの正の解をもつ条件を求めよ』

という風に、「解が××にある条件を求める」というのが解の配置問題です。

 

解の配置問題は、2次関数の最後に立ちはだかるラスボスです。

定期テストの応用問題で出される可能性がありますし、大学受験の実戦的にも重要な問題です。

新しい視点の問題のため、最初は対応に苦慮すると思います。

じっくりと腰を据えて練習しましょう。

 

ポイント① 解の公式は使いものにならないので注意!

『2次方程式〇〇が、異なる2つの正の解をもつ条件を求めよ』

と言われたときに、パッと浮かぶのは

「解の公式で解を求めて、小さいほうの解>0」

とする対応かもしれません。

あとは、不等式を一生懸命に解けばいいのですが……

 

こういう場面で、解の公式の弱みが見えてきます。

式が複雑で、根号「√」が入っていることが、解の公式の弱点です。

 

とくに根号を不等式の中で処理するのが非常に厄介で、直感的な操作ができません。

解の公式が絡んだ不等式を解くには、相当な論理的腕力が必要になります。

「解の公式で解を求めて、小さいほうの解>0」

のように立式した不等式は、「普通には解けない」と思ってOKです。

 

(トップレベルを目指す人は、解の配置問題を解の公式から解く練習をするのもアリです。

論理的な腕力を鍛えるのにいい練習になります。)

 

解の配置問題では、

解の公式を使おうとしたら負け

と言ってもいいです。

 

では、どうしましょうか……

 

ポイント② 解の配置問題は、グラフのようすから攻める

解の配置問題に対して、解の公式から攻めるのは筋が悪いです。

そこで、

解の配置問題は、グラフのようすから攻める

というのが基本手筋になります。

 

「方程式f(x)=0 の解」

を、

「y=f(x)のグラフとx軸の交点」

として捉えて、グラフのようすから攻めていきます。

 

実際にやってみると分かるのですが、この作戦だと解の公式は使いません。

むしろ、

「方程式の解について、具体的には分からない」

状態で問題を処理していきます。

 

地味ながら、ここが面白い鑑賞ポイントです。

「解の条件について聞かれている問題」を、

「具体的な解の値は分からないまま処理する」

という動きをします。

 

難しい問題になればなるほど、問題にされている条件を素直に処理することが難しいです。

「解」について聞かれているのに、「解」を求めて処理すると負け

といった状況が、応用問題であるほど出てきます。

 

この辺りの間合いといいますか、実戦的な「数学の心」が現れているのが「解の配置問題」です。

「グラフをかいて処理する」とだけ覚えてしまうのはもったいない。

こういう不思議なところに注目して、その心に触れるのが今後の学習でも役に立ちます。

 

ポイント③ 解の配置問題で注目するのは3つ!

さて、グラフで対応するという方針は立ちました。

方針がたった後の具体的な処理方法も紹介します。

 

解の配置問題では、次の3点に注目して、立式・処理をします。

㋐放物線の軸

㋑頂点のy座標(判別式D)

㋒区間の端点での値

 

色々な問題のパターンがありますが、上記の㋐~㋒に注目して考えることは共通しています。

問題演習の中で、㋐~㋒がどう処理されているかを意識して、

勉強していきましょう。

 

㋐、㋑の情報は、2次関数を「平方完成」することで分かりますね。

そのため、解の配置問題では平方完成から攻めることが多いです。

㋑の「頂点のy座標」の位置を調べることは、判別式Dを調べることと同じです。

どちらか片方だけ調べれば十分なので、頂点の座標か判別式か、お好みの方を調べましょう。

 

㋒については、例えば

「f(x)=0が、正の解を2つもつ」

場合、解を入れたい区間は「x>0」になります。

そのため、区間の端点は「x=0」となり、

区間の端点の値である「f(0)」に注目して処理します。

 

模範解答を見るときには、

㋐放物線の軸

㋑頂点のy座標(判別式D)

㋒区間の端点での値

に注目して、問題への対応方法を確認しましょう。

 

ポイント④ 「十分性」「必要性」を意識しよう

これは、少し難しい話になります。

グラフのようすを考え、

㋐放物線の軸

㋑頂点のy座標(判別式D)

㋒区間の端点での値

に注目して立式したとします。

 

このときに出てきた条件は、

「十分条件」になっているか?

を意識できると最高です。

 

つまり、

問題の条件を満たすのは、「〇〇」と立式できた

だけだと、「必要条件」しか満たしていないことがあります。

この逆の、

「〇〇」と立式できれば、問題の条件を満たす

という方向を確認し、「十分条件」になっていることを確認できると完璧です。

 

一朝一夕では身に付きませんが、今のうちから意識して練習できると、

後々実力がグンとついてきます。

 

特に、問題によっては

㋐放物線の軸

㋑頂点のy座標(判別式D)

㋒区間の端点での値

のうち、特定の条件しか立式しない問題もあります。

例えば、㋐と㋒だけで「十分条件」になっているので、

㋑は不要……というような感じです。

 

このように、「必要条件」「十分条件」に注目できれば、

スマートな問題処理に繋がります。

ただ、最初は本当に難しいので、

『㋐~㋒を、とりあえずすべて調べる』

と思うのがオススメです。

解答を見て、不要な条件があったら十分性に注意して考察する……

そういう地道な努力の先に、スマートな解答があると思った方がいいです。

いきなり、完全に無駄のないスマートな解法ができるようになろうとするのは、

色々な意味で危険です。

 

 

2次関数の最終回、ラスボスの解の配置問題でした。

実際に自分の手で解こうとすると、中々うまく行きません。

計算、グラフの知識、論理的思考力が総合的に要求される問題だからです。

その分、演習を通じて学べることは非常に多いです。

じっくりと腰を据えて、勉強していきましょう。

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