スタディサプリ 高3トップレベル数学Ⅲ 第5講 媒介変数で表された曲線 チャプター1|中学受験エリート

スタディサプリ 高3トップレベル数学Ⅲ 第5講 媒介変数で表された曲線 チャプター1

大学受験エリートのSuuです。

この記事では、スタディサプリの映像授業について、

「オススメの視聴法」

「授業のポイント」

などを、具体的に紹介していきます。

 

今回扱うのは、

高3 トップレベル数学Ⅲ 第5講

媒介変数で表された曲線

です。

この記事では、チャプター1について扱います。

 

Chapter1

「媒介変数」と言うと堅苦しく、イメージしにくいですね。

授業動画の中でも冒頭に言っているように、

媒介変数=パラメータ

だと思うとよいです。

……ん? 「パラメータ」でも、イメージできない?

そうですよね。まったくもって普通の感覚です。

パラメータtは、

時間を表すt

だと思うのが、この単元のポイントです。

(というか、時間=timeの頭文字をとって、文字tを使っています。)

 

トップレベル向けの授業動画ですが、念のため、基本的なイメージからおさらいしましょう。

(x,y)=(2t,t+1)

という「パラメータ表示」は、

「時間tのときに、点(x,y)はここにいるよ!」

ということを示すことで、曲線を指定します。

時間t=0 のとき、 (x,y)=(0,1)

時間t=1 のとき、 (x,y)=(2,2)

……

といった感じで、時間tにおける点の位置を示しているイメージを持ちましょう。

“アリさん”が、平面上を移動すると想像してもOKです。

 

3分30秒~4分40秒

『円が、直線上を滑らずに転がる』

を、きちんとイメージしましょう。

先生の実演(!?)も非常に面白いので、一度は見ておくことをオススメします!

動画の中の先生の顔の動きをよく見て、「滑らずに転がる」動きをとらえましょう。

視覚的にとらえた後は、“数式として”の処理の仕方も覚えておいてください。

円が直線上を滑らずに転がるとき、

『円が移動した距離=円周上の点が動いた弧の長さ』

が成り立ちます。

これが成り立つのが、「滑らずに」が言わんとしていることです。

動画の9分0秒頃の板書で言うと

OR=弧RQ

が成り立ちます。

これが、

『円が移動した距離=円周上の点が動いた弧の長さ』

の具体例で、円が滑らずに転がる……と聞いたら、この関係式を思い出しましょう。

6分20秒~8分30秒ごろの間、先生が説明しようとしているのはこのポイントです。

 

ベクトルの使い方

ベクトルは使いこなせると非常に便利です。

ベクトルはベクトルの問題解くためにある! のではなく、平面図形を処理するときに自由に使いこなすためにあります。

この動画には、平面ベクトルを実践で応用するエッセンスが詰まっていますので、注目しましょう。

 

問題(1)では、点Pや点Qの座標をするのが目的です。

動画10分0秒以降から、平面ベクトルを利用して点P、Qの座標を計算していきます。

このときのポイントを、①~③にまとめました。

動画を視聴する際の参考にしてください。

 

①ベクトルの分解→点の位置関係の分解

点Pの座標とは、「原点Oと点Pの位置関係」を表すものです。

これを、

「原点Oと点Pの位置関係」=「原点Oと点Rの位置関係」+「点Rと点Pの位置関係」

と分解して扱えるのが、ベクトルのいいところです。

最初の原点との位置関係はパッと分からなくても、原点とR、RとPの位置関係なら容易に把握できる!

そんな場面で威力を発揮します。

この問題が、まさにそのシチュエーションです。

 

②ラジアン単位の意味→角度=弧の長さ

動画の16分30秒ごろ、突然

∠RPQ=2t

という値が図に書きこまれます。

ここは、ラジアン単位の意味から導かれています。

「単位円周上で、点がある角度回転したときに動く弧の長さで、その長さを表す!」

がラジアンの意味です。

具体的には、単位円周上を一周する、つまり360°の回転を、

一周の円弧2πで表す! ということですね。

この場合、弧QRの長さが2tなので、その弧と対応する回転角の∠RPQの大きさも2tになります。

『180°=π』 みたいな暗記で終わらず、単位の意味まで含めて、

しっかり理解することが大切です。

 

③回転角の捉え方→負の偏角を使おう!

OR、RP、PRのベクトルの成分を計算する際、

長さがr、偏角がθのベクトルが

r(cosθ、sinθ)

で表されることを使っています。

ベクトルの長さは図からすぐに分かるのですが、

問題は偏角θです。

地味ながら、正確に計算するのにはコツがあります。

あれこれ補助線を引いて、等しい角度を見つけて……とやるのは大変です。

この授業動画でやっている方法は、負の偏角をうまく使う方法です。

反時計まわりに回転→正の偏角

時計まわりに回転→負の偏角

と捉えて、それらを足し合わせればいい!

という発想ですね。

このポイントをおさえて、

11分0秒~11分50秒

12分30秒~13分40秒

15分20秒~17分30秒

をじっくり見てください。

平行線や相似な三角形を見つけるよりも、

負の偏角(逆回転)も使いこなし、

『どれだけ回転したのか?』

の足し合わせで処理するとやりやすいですよ。

 

 

実は、ここまでに数Ⅲの内容はあります。

ですが、大学受験の数学で重要な内容が詰まっています。

『円が滑らずに転がる』

『ラジアンの意味』

『平面ベクトルの利用』

『偏角を使った小技』

を記事の中で取り上げました。

問題(2)へ続く前座と思わず、これらの受験数学のエッセンスを、

きっちりと学習しましょう。

 

 

 

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