スタディサプリ 高3トップレベル数学Ⅲ 第5講 媒介変数で表された曲線 チャプター3、4|中学受験エリート

スタディサプリ 高3トップレベル数学Ⅲ 第5講 媒介変数で表された曲線 チャプター3、4

大学受験エリートのSuuです。

この記事では、スタディサプリの映像授業について、

「オススメの視聴法」

「授業のポイント」

などを、具体的に紹介していきます。

 

今回扱うのは、

高3 トップレベル数学Ⅲ 第5講

媒介変数で表された曲線

です。

この記事では、チャプター3,4について扱います。

 

Chapter3

問題(1)は、軽いウォーミングアップです。

トップレベルを目指す人向けなので、

f(θ)の式を見た瞬間に、

『sin2θ=1-cos2θ

を使えば、f(θ)はcosθだけで表せるな

cosθ=αとでもおけば、f(θ)はαの二次式だな』

ぐらいのことはスラスラと浮かぶことが前提です。

 

さて、3分0秒あたりからは、

|θ| < a ならば cosθ > 0

|θ| =a ならば cosθ = 0

の条件を解いていく解説になります。

なんだ、図をかけば楽勝……

いやいや。

問題(1)の解説で重要なのは、

この3分0秒から6分15秒の部分です!

 

『小難しいこと考えなくても、直感でaの値は分かるじゃん!』

と感じる人もいると思います。

ですが、トップレベルを目指す場合、授業動画のようなロジカルな処理が重要です。

例えば、

a=11π/12

のときはどうでしょうか?

そういったaの値も想定していましたか?

aの値の範囲が指定されていないのが、地味ながらこの問題のミソです。

a=11π/12 は答えとして適さないのですが、

そのあたりまで神経を通わせながらaの値を求めることをクセにしましょう。

そうしないと、本当に精密な議論が求められる問題に対応できなくなります。

解答に至る1文1文、1行1行、1文字1文字、全て部分を精密にスキがない!

そういった姿勢が、トップレベルでは求められます。

 

 

6分20秒ごろから、問題(2)の解説になります。

『直線y=tと曲線Cが共有点をもつような実数tの範囲を求めよ』

の部分について解説していないように感じるため、

いきなり動画をみると、ちょっと混乱してしまうかもしれません。

これから動画を見る人や、動画を見て混乱した人向けに、

簡単な授業の補足をします。

 

『直線y=tと曲線Cが共有点をもつ』

→『sinθ=t をみたすパラメータθが見つかる(存在する)』

といえます。(十分性もOKです。念のため。)

θの範囲に注目すると、

『sinθ=t の解θが―3π/4から3π/4の範囲に見つかる、実数tの範囲を求めよ』

ということになります。

すると、

|t| < 1

が求める範囲と分かります。

 

 

11分30秒ぐらいからは、ガリガリ計算するだけです。

sinθ=t なので、あとはcosθをtで表せばいいということで、

cos2θ+sin2θ=1

を利用すればいいのですね。

tの範囲によって、ルートの前に±が出たり、+の方だけだったりしますが、

この意味はチャプター4で理解するのがオススメです。

このチャプター3では、一旦計算だけをおって、スルーしましょう。

 

Chapter4

さて、積分を利用した体積の計算です。

チャプター2の内容と同じですが、

『立式をするために、グラフの概形をつかむ』

ことが第一歩です。

欲しいのは、あくまで立式のための情報です。

細かい極値の情報などはいらない!

ということは、このチャプターでも意識しましょう。

 

動画の最初から、8分30秒ぐらいまでのところが、

立式のためにグラフの概形をつかむパートです。

色々と有用なテクニックが詰まっていますので、じっくり授業動画を見て習得しましょう。

テンポよく進んでいきますので、この記事で大事なポイントをまとめます。

 

①直線y=xについて、対称移動すると、曲線y=f(x)の式はx=f(y)になる

 

まず、この知識を駆使しています。

y=f(x)とx=f(y)の関係は、「xとyを入れ替えた」と言えますから、ラフに、

『直線y=xに関する対称移動→式でxとyを入れ替える』

と理解しましょう。

6分30秒から、7分30秒ぐらいの間で、

先生が急に「パタンと♪」というところで、

①の知識を使っています。

x=f(y)としてグラフをかく

→直線y=xについて、対称移動(これが「パタンと♪」です)

→通常の、xy平面の図に戻る

という手順です。

 

抽象的でとらえにくいですね。

具体例を紹介します!

知っている例、簡単な例にひきつけて理解するのが、

数学の勉強法のコツですよ~。

では……似たような方法でかくグラフとして、

y=√x

の例があります。

y=x2のグラフをかいておいて、

「xとyを入れ替える」(直線y=xに関して対称移動、「パタン♪」)

ことで、y=√xのグラフをかけました。

この例と同じことを、この授業動画の中でやっています。

 

 

②ルートの前が±だったり、+だけだったりするのは何?

7分40秒を少しすぎたあたりで動画をとめましょう。

左側にある、赤と青のグラフが曲線Cのグラフです。

(正確には、曲線Cのグラフのy > 0の部分)

 

yが1/√2より大きいとき、y=tのグラフは赤と青二つのグラフとぶつかります。

つまり、対応するxの値が二つあるので、これが「±」の二つと対応。

yが1/√2より小さいとき、y=tのグラフは赤のグラフのみとぶつかります。

つまり、対応するxの値が一つなので、これが「+」の一つと対応。

となっています。

 

グラフで視覚化すると、数式の意味、違いがスッキリ見えますね!

数式の意味、違いを、グラフとセットで理解しましょう。

こうした理解の積み重ねが、正しい数学の「理解」に繋がります。

トップレベルを目指す人は、こういうところにも注目して授業動画を視聴してください。

 

 

8分0秒ごろから、動画の最後までが「積分の立式」の内容です。

チャプター2の記事でも書きましたが、

求積で使う一つひとつの積分公式の意味も理解しておきましょう。

『何を足し合わせるのか?』

をとらえるのがミソです。

 

∫πx2dy

がy軸回転の体積公式です。

この式を丸暗記するのではなく、

『πx2×dy = 底面の半径x、高さdyの円柱の体積』

の足し合わせだと見えていますか?

そんなの聞いたことがない……という方は、

参考書を読んだり、レベルを下げた動画で勉強したりしましょう。

 

 

細かい計算は、動画でも、この記事でも、やはり省略します。

数Ⅲの微分積分は、計算力が命です。

トップレベルを目指す人も、そうでない人も、

計算練習は入念に行いましょう。

 

 

トップレベル向けの授業動画にふさわしい、

難しい内容が続きますが、引き続き頑張りましょう!

 

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