るるぶ高校数学 数A ①場合の数 その1 集合|中学受験エリート

るるぶ高校数学 数A ①場合の数 その1 集合

こんにちは!

大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の自学自習や復習をしたい人のために、

高校数学のポイント、落とし穴、カンどころを紹介する

るるぶ高校数学シリーズです。

 

今回は、

数A 場合の数 その1 集合

です。

 

はい、唐突に出てきますね「集合」。

正直、勉強していてツマラナイ内容の代表格ではないでしょうか。

高校数学のツマラナイ勉強TOP3には確実に入りそうな、強者の風格があります。

 

そんな集合だからこそ、

なんで、集合の勉強が必要なのか?

を知っておいて欲しいです。

この記事では、そこに焦点を当てて紹介しましょう。

 

集合の勉強目的① 場合の数を数えるテクニック

目下、重要なのはコレです。

数Aの場合の数で集合を学ぶの目的はコレでしょう。

 

俗に「個数定理」と言われる、集合の要素の個数に関する公式が重要になります。

具体的には、

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

ですね。

この計算は、場合の数の数え上げ、確率の計算でちょくちょく使います。

 

公式自体は、可能なら暗記しないで対応して欲しいです。

意味を理解して、導出の訓練を繰り返し、

瞬時に思い出せればOKです。

 

公式で使われる記号は仰々しく、慣れないうちは難しく感じられるかもしれません。

ただ、公式の意味自体はハードルが低く、

使える人は小学生でも使っている公式です。

 

そんな簡単な内容なのに、なぜ仰々しい記号で勉強するの?

……そうそう、そこが肝心。

最終的には、「個数定理」を様々な変形で使えるのが理想です。

変形と言うのは、例えば、

n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(A∪B)

n(A)=n(A∪B)+n(A∩B)-n(B)

などですね。

個数定理を移項しているだけですが、

こういった派生公式をスムーズに引き出せるのが、小学生と違うところです。

また、

AをAの補集合に変えたときはどうなる?

など、色々な変形が考えられます。

 

補集合が絡むなら、

ド・モルガンの法則

も便利で、重要ですね。

(余談:複素平面で出てくる「ド・モアブル」と名前が似ていて、

区別がつかなくなるのは私だけ?)

 

ド・モルガンの法則も、カッチリ暗記するほどのものではないです。

・∪のバーは∩

・∩のバーは∪

・バーは、分配できる

の3点だけおさえておけば、すぐに思い出せますし、

どんな状況でも使いこなせます。

 

移項して形を変えたり、補集合を混ぜてややこしくしたり……

そういう派生技をスムーズに繰り出そうとしたときには、

仰々しい記号で整理されている方が便利なのです。

 

差し当たりは基本問題を練習し、公式の基本の型を習得すれば十分ではあります。

ですが、ハイレベルを目指す人なら、

少し難しめの問題にも手を出すことをオススメします。

個数定理やド・モルガンの公式を、仰々しい記号とともに使いこなし、

複雑な条件下でもサクサク集合の個数を計算できる!

というレベルがゴールです。

ココまで技量を高められれば、実戦の大学受験の問題でも、

ガンガン活用できますよ。

 

集合の勉強目的② 数学で重要な「言葉」だから

集合は、それそものが研究対象というよりも、

数学で話をするための言葉

という側面が強いです。

 

例えるなら、

中1の英語で習うbe動詞

のような位置づけです。

 

はい、めっちゃ重要です。

be動詞が曖昧だと、きっと英語は苦労しますよね。

だって、英文の中でわらわらと出てくる、基本表現ですから。

 

数学の集合も同じです。

数学的な対象を表現するのに非常に便利な記号なため、

勉強の深度が深まるほど、集合に出会います。

そのときに、記号の意味、言葉の意味が分からないと……

そう、困りますよね。

 

ただ、この「言葉」という側面に注目する場合、

「言葉の意味が分かれば十分」

とも言えます。

つまり、

数学の問題の中で集合で出てきたときに、

その表現の意味が分かればOK!

 

勉強法なのですが、ここは少し気分を変えましょうか。

数学というより、言語を勉強するイメージがオススメです。

言語の勉強で大切なのは……使うこと!

集合の記号の意味を理解して、自分で集合の記号を使ってみる。

 

とにかく、「自分で記号を使う」ことが重要です。

巷の問題集の問題で十分ですから、自分で記号を使って、

記号に慣れることを意識しましょう。

 

集合の勉強目的③ 論理的な思考をするために必須

高校数学、大学受験の数学では、

論理

が問われます。

数学で必要な論理って何よ……の説明は難しいのですが、

今日は、あえて意味深な言い方をします。

数学の論理力=集合との仲良し度

ということにします。

 

ちょっと高級な話なのですが、

数学の論理は、集合の考え方と常に隣にあります。

集合なくして、数学の論理は語れません。

だから、「集合と論理」なんて単元があるのですよね。

 

高校数学で、大学受験の数学で必要な「論理」。

「論理」を習得するために、「集合」の言葉が必須!

と、思って下さい。

ただ、論理と集合を絡めた考え方は、数Ⅰの方でメインで扱います。

勉強はそちらでしましょう。

 

 

アレコレ書きましたが、やはり、「集合」はあまり楽しくないかもしれません 笑

ただ、地味に数学の土台になる部分でもあります。

建築なら基礎の土台、音楽なら低音。

ここがグラつくと、ハイレベルを目指すうえで、どこかで伸び悩みが来ます。

何度も繰り返し勉強するようなところではありませんので、

ここである程度キッチリ練習して欲しいところです。

 

電話 メール