大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを、具体的に紹介していきます。
今回扱うのは、
高３トップレベル数学Ⅲ
第６講 ２次曲線と極座標
です。
この記事では、チャプター１、２について扱います。
Chapter1
開始から４分０秒までが、問題（１）の解説です。
ここはウォームアップですね。
本番は、４分０秒以降です。
ここからすべて、問題（２）の解説です。
つまり、曲線Cのグラフをどうとらえるか？
の解説です。
曲線Cのグラフのとらえ方として、
①グラフを回転させて、標準形にする
②y＝f(x)の形に変形して、気合でとらえる
③パラメータ表示を微分して、増減表をかいて調べる
の３つの方法が紹介されています。
４分０秒から１１分２０秒ごろの間が①、
１１分２０秒ごろから１８分３０秒頃が②、
１８分３０秒以降が③の解説です。
②の内容は、一つ前の講義の
高３ トップレベル数学Ⅲ 第５講
媒介変数で表された曲線 チャプター４
でほぼ同じ内容が解説されています。
③は、パラメータ表示された曲線の微分→増減表なので、基本事項です。
そうすると、このチャプターの内容で一番高級なのが
①グラフを回転させて、「標準形」にする
です。
ですが、この①の内容や計算式が、授業動画の中ではかなり省略されています。
そこでこの記事では、動画の中で省略されたこの①について扱いましょうか。
動画を見ていて、「結局、具体的にどういうことなん？」と疑問を抱えてしまった人向けに、詳細な計算を紹介します。
テーマ
2x2－2xy+y2＝1
を回転させて、標準形に変えよう！
動画の内容に沿って行きましょう。
点（x,y）を、原点を中心にθ回転した点を（X,Y）とします。
複素平面の知識を使うと、
X+Y i＝(cosθ+i sinθ)（x+y i）
が成立します。
Step1 xとyを、XとYの式で表す
少しテクニカルに行きましょうか。
『点（x,y）を、原点を中心にθ回転した点が（X,Y）』
ということは、逆に考えると
『点（X,Y）を、原点を中心に（―θ）回転した点が（x,y）』
と言えますから、複素平面の知識を使うと
x+y i＝（cosθ－i sinθ）（X+Y i）
（※cos(－θ)＝cosθ、sin(－θ）＝－sinθ を利用しました）
この右辺を展開して整理すると、
x+y i =(Xcosθ＋Ysinθ)+i(－Xsinθ+Ycosθ)
x,y,X,Yは実数だから、実部と虚部をそれぞれ比べて
x= Xcosθ＋Ysinθ ……（Ⅰ）
y=－Xsinθ+Ycosθ ……（Ⅱ）
これが、xとyを、XとYの式で表した関係式です。
Step2 2x2－2xy+y2＝1 をX,Yの式に書きかえる
2x2－2xy+y2＝1 の左辺に、Step1で求めた関係式（Ⅰ）、（Ⅱ）を代入すると
2(Xcosθ＋Ysinθ)2－2(Xcosθ＋Ysinθ)(－Xsinθ+Ycosθ)+(－Xsinθ+Ycosθ)2
この式を整理すると、
（※ X、Yは文字、θは定数と考えて整理します）
(2cos2θ+2cosθsinθ+sin2θ)X2
+(－2cos2θ+2cosθsinθ+2sin2θ)XY
+(2sin2θ－2cosθsinθ+cos2θ)Y2
よって、XとYの関係式は、
(2cos2θ+2cosθsinθ+sin2θ)X2
+(－2cos2θ+2cosθsinθ+2sin2θ)XY
+(2sin2θ－2cosθsinθ+cos2θ)Y2
=1
（※ XYの係数
－2cos2θ+2cosθsinθ+2sin2θ
が0になるようにすれば、標準形になります！）
Step3 XYの係数が0になるように、θの値を定める
XYの係数が0になるときを考える。
－2cos2θ+2cosθsinθ+2sin2θ=0
sin2θ－2cos2θ=0
(※半角の公式を利用しました)
sin2θ/cos2θ=2
tan2θ=2
よって、
tan2θ=2
となるように、θの値を定めればよい。
（※動画の８分０秒から９分４０秒の内容と、同じtan2θの値が出てきました！）
Step4 Step3で決めたθの値に沿って、X,Yの関係式を具体的に求める
Step2で求めたX,Yの関係式に、Step3で定めたθの値を代入すればOKです。
tan2θ=2のとき、
cos2θ=1/√5、sin2θ=2/√5
となります。
（θの値は、0からπ/2の間で考えればよいことを使いました。）
この値を利用して、Step2で求めた
(2cos2θ+2cosθsinθ+sin2θ)X2
+(－2cos2θ+2cosθsinθ+2sin2θ)XY
+(2sin2θ－2cosθsinθ+cos2θ)Y2
=1
の式を計算しましょう。
X2、Y2の係数は半角の公式を使えばsin2θとcos2θで表せますし、XYの係数は0になることに注意して計算すると、
X2の係数は
2cos2θ+2cosθsinθ+sin2θ=(3+√5)/2
Y2の係数は
2sin2θ－2cosθsinθ+cos2θ)=(3－√5)/2
よって、X,Yの関係式は
(3+√5)X2+(3－√5)Y2=2
（※分母を払いました。）
となり、これは確かに楕円の標準形になっています。
Chapter2
このチャプターの内容は、
高３ トップレベル数学Ⅲ 第５講
媒介変数で表された曲線 チャプター４
の内容とほとんど変わりません。
おさえるポイントも同じですので、
そちらに関して紹介した記事をご参考下さい。
この記事の内容は、授業動画の中で省略されていた計算の解説になってしまいました。
実は、この計算は初めて行いました。
（授業動画の先生と同じように、私も１次変換（線形代数、２次形式）で計算していました。）
複素平面を利用した計算も、三角関数が舞い踊っていて案外楽しいですね。
この記事の中に詳細な方針と、具体的な答えをのせておきました。
トップレベルを目指す皆さまは、ぜひ自分の手を動かしてチャレンジしてください！