大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを、具体的に紹介していきます。
今回扱うのは、
高１・高２トップレベル数学ⅠAⅡB 第３2講
ｎ人を部屋に分ける
です。
この記事では、チャプター１～３について扱います。
この動画も、大変面白いです。
途中から、思わずニヤニヤしながら見ていました。
解説もそうなのですが、出題されている問題自体が面白かったです。
解説とともに、問題自体を鑑賞するイメージで視聴するのがオススメです。
Chapter1
基本的な方針が解説されています。
この記事では、方針以前の基本を確認しましょう。
数え上げの問題では……
「何を区別する？ 区別しない？」
が問題で決まっているので、その設定を確認するのが最重要です。
何故なら、その設定認識がずれていると、答えが全然違うものになってしまうからです。
さて、この問題では
①ｎ人はすべて区別する
②ｋ部屋はすべて区別する
という設定がされています。
①は、数え上げの問題の暗黙のルールです。
『人は区別できるから、何を言わなければ区別する』
という、ルールがあります。
②は、問題文の中で指定されていますね。
「区別のつく」と問題文に書いてあるときは、「区別して考えてね！」と言われていると思いましょう。
毎回毎回、しつこいですか？？？
ですが、私はここを大切にとらえています。
問題（２）の、ｎ人を２部屋に分ける場合を考えてみます。
例えば、設定を少しいじって、
人は区別しないが、部屋は区別する
と条件を変えるだけで、考え方や答えが変わってきます。
この場合は、（各部屋に最低一人は割り当てるという条件があれば）
n-1 通り
が答えです。
あえて式を書くなら、n-1C2-1通りでしょうか。
n人をk部屋に分ける場合も難しくなく、n-1Ck-1通りとなります。
「区別する・しない」の設定が少し違うだけで、全然違う問題になってしまいます。
ここの設定を読み違えたら、解けるはずもないですし、部分点ももらいようがありません。
絶対に間違えてはいけない部分なので、毎回確認するよう、注意しているのです。
さて、いつもの小言はさておき。
４分０秒から７分２０秒ごろの解説も、おさえておきましょう。
パターンで覚える！
というより、二つの方針が一瞬で浮かんで、
「こっちは大変で、あっちの方が楽そうだ」
と判断できるのが理想です。
そのためには、それぞれの方針で解いてみる、解こうとしてみる、
という練習を繰り返すことが大切。
重い練習ですが、トップレベルを目指す人なら、可能な限り訓練して欲しいです。
方針さえしっかりつかめれば、答えを出すのは簡単ですね。
次のチャプター２に進みましょう。
Chapter2
問題（２）の解説です。
チャプター１の内容がおさえられていれば、問題（２）はとっつきやすいと思います。
前の問題（１）の結果を利用できることに気づけるか？
がミソですね。
（最初は気づけなくても、計算していけば自然と気づけてしまいそうですが……）
もしも、チャプター１は見たけれど問題（２）は解けなかった場合。
論理的に、隙なく場合分けをできているか？
つまり、分けたケースの中に、「漏れ」や「かぶり」がないかを見直しましょう。
Chapter3
問題（３）と、問題（４）の解説です。
問題（３）は、
途中で4C1,4C2,4C3などが出てきていることに気づくか？
がポイントです。
本当は、このCたちは計算しないでそのまま残した方がカッコイイのですけどね。
授業動画では、故意に計算して、具体的な数字にしていますね。
わざとらしくて、ニヤニヤしながら視聴してしまいましたよ 笑
途中で4C1,4C2,4C3などが出てきていること
に気づけば、二項係数Cに絡むもの……パスカルの三角形などが怪しい？
と考える手掛かりになります。
そうでなく、答えの数字だけ見つけてパスカルの三角形を思い出すのは、
少し大変かもしれません。
浮かばなくても、落ち込まないで下さい。
授業の計算は、わざと気づきにくいようにやっています 笑
本当は、
『4C1,4C2,4C3などを計算しないで残しておく』
ように計算するといいんだよ、ということを補足させて下さいね。
さて。
問題（４）を解いて終わりでいいですか？
いやいや、トップレベルを目指す人は、ここで終わらないで下さいよ。
k=2,k=3,k=4,k=10と、具体的な数字で考えてきましたが、
『一般のkのままで考える』
のも、問題（４）を解けた人ならできますよね。
では、一般のｎとｋで解けたら満足ですか？
いやいやいやいや、トップレベルを目指すなら、もう一歩いきましょうよ。
『ｎ人をｋ人の部屋に分ける』
方法が何通りか予想出来たら、その証明にもチャレンジしましょう。
これだけキレイな結果なのですから、証明したくてウズウズしませんか？
しますよね？
しましょうね……？？
……はい、ありがとう。 （謎
ちょっとだけ、証明方針のヒントを出しておきます。
ｋに関する帰納法が手筋っぽいのですが、
問題（１）～（３）の解き方を振り返りましょう。
ｋ＝３ →ｋ＝２の結果を使う
ｋ＝４ →ｋ＝２、ｋ＝３の結果を使う
……
ｋ →ｋ＝２、ｋ＝３、…… の結果を使う
ふむふむ。ｋに関する帰納法ですが、少し変形が必要そう……というところで、ヒント出しは終わりにします。
非常にきれいな結果で、面白い問題です。
トップレベルを目指す人には、ぜひこの問題から少し踏み込んで遊んでみることをオススメしたいです。