るるぶ高校数学 数Ⅱ ①式と証明 その6 不等式の証明、相加相乗平均の不等式|中学受験エリート

るるぶ高校数学 数Ⅱ ①式と証明 その6 不等式の証明、相加相乗平均の不等式

こんにちは!

大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の勉強のポイント、見どころ、落とし穴などを紹介する、

るるぶ高校数学のコーナーです。

 

今回は、

数Ⅱ 式と証明 その6 不等式の証明、相加相乗平均の不等式

です。

 

今回が、数Ⅱ 式と証明の最後になります。

計算練習は順調ですか?

等式の証明で、複数の方針でアタックして遊んでいますか?

ここまで学習した内容も十分重いですが、不等式の証明も中々重いです。

これまで扱ったのは「等式」ですが、

不等式と等式では扱いの感覚が違います。

そのため、「なんか慣れないなあ」と感じるのが自然です。

等式との違いに注目しながら、練習していきましょう。

 

ポイント① 不等式の証明は(大きいもの)-(小さいもの)> 0 の方針一択

等式の証明では、定番の証明方針が複数ありました。

不等式の証明では、証明の方針は一択と言っていいです。

A > B

を示すときは、

A-B > 0

の証明に落とし込むのが基本です。

 

注意点は、

(大きいもの)-(小さいもの)

を考えることです。

例えば、

A < B

を示したいときは、

B-A > 0

の証明に持ち込みます。

 

もちろん、他の証明方法だって沢山あるのですが、

基本的にはこの方針だけでOKです。

方針が一択なため、方針選びについては、

等式の証明よりも悩まなくて済みます。

 

ポイント② 不等式特有のコツ! 「小さいもの」に置きかえる感覚を掴もう

等式の変形では出てこない、不等式特有のコツは

「小さいもの」に置きかえる

という操作です。

(「大きいもの」に置きかえることもあります。)

 

例えば、a > 0 , b > 0 のとき、

a+b > 0+0 =0

という風に計算します。

何をやっているかというと、

aを、aよりも小さい0に置きかえる(a=0を代入する)

bを、bよりも小さい0に置きかえる(b=0を代入する)

という計算をしました。

 

「等しくないものを代入する」ような操作をすることになります。

「等しくないのに代入していいの?」という疑問は真っ当です。

ですが、今扱っているのは「不等式」ですからね。

「等しくない」世界で話をするので、等しくないものを代入する

のだとイメージしておきましょう。

 

a > b という条件があれば、aをbに置きかえる(aにbを代入する)

x > 1 という条件があれば、xを1に置きかえる(xに1を代入する)

のような操作を積み重ねるのが、不等式を扱う1つのポイントになります。

(もちろん、この操作をしたときは「等式」ではなく、

「不等式」で式を繋ぐことになります。)

 

この、

「小さいもの」に置きかえて、等しくないものを代入していく感覚が、

不等式で重要です。

練習は、ここを意識しながら取り組んでいきましょう。

 

ポイント③ 2乗をつくろう! (実数)2≧0 を見逃すな!

不等式のコツとして、「2乗をつくる」のもポイントです。

背景にあるのは、

(実数)2≧0

という関係式。

この関係は、特に断りなく使ってOKの式です。

 

ポイント②の内容から、

(実数)2を見たら、「=0」と置きかえていけるのが不等式の世界です。

「=0」と置きかえるということは、実質「消える」ことと同じです。

いやいや、素晴らしい威力ですよね。

不等式の世界では、「2乗の形」がすごく扱いやすいのです。

常に、

「2乗の形にできないかな?」

と意識するのも、不等式の扱いで重要です。

 

ポイント④ ルートや絶対値は2乗して外そう

ルートや絶対値がついた不等式が出てくることがあります。

そのときは、

2乗してルートや絶対値を外す

を狙うのが手筋です。

ルートや絶対値は、計算の邪魔になることが多いですからね。

 

ただし、重要な注意点があります。

なぜ、両辺を2乗していいのか?

の理屈はきちんと理解し、意識しましょう。

 

A≧0 , B≧0のとき、

A ≧ B ⇔ A2 ≧ B2

 

というのが、不等式の両辺を2乗する際に意識する内容です。

『AやBが負の場合、2乗するとマズイ』

と思ってもOKです。

例えば、

-1≧-3

は正しいですが、両辺を2乗した

1≧9

は大嘘ですよね。

 

このように、両辺の2乗をとるときには、

「もともとの両辺は正なのか?」

に注意しないといけません。

(実戦的には、ルートや絶対値は負にならないため、

ルート・絶対値が絡むときはこの条件が満たされることが多いです。)

 

(注意 両辺を2乗するときに注意が必要なのは、等式でも同様です。)

 

ポイント⑤ 相加相乗平均の不等式は「正しい型」で練習する

最後に、有名不等式として

相加相乗平均の不等式

が出てくると思います。

 

a > 0 , b > 0 のとき、

(a+b)/2≧√ab

という不等式ですね。

 

この相加相乗平均の不等式は、大学受験の数学で非常に重要です。

主に最大・最小値を求めるときに使うのが有名です。

この相加相乗。決まった時の威力が凄まじいのです。

相加相乗を使うか使わないかで、答案の長さが全然変わります。

 

一方で、相加相乗平均の不等式は、

誤答量産機

の側面を持っています。

使用法を間違えると、一瞬でトンデモ誤答まっしぐら。

そういう、恐ろしい一面もあります。

 

まとめると、相加相乗平均の不等式は

ハイリスク・ハイリターンの諸刃の剣

と言えます。

 

とはいえ、トップレベルを目指す人なら、避けては通れない不等式です。

正しい使い方とその理屈を、すぐに理解するのは大変かもしれません。

そのため、今の段階では

誤答を起こさないための、相加相乗の正しい『型』

を習得することを目指しましょう。

 

相加相乗の正しい型とは、

㋐使用条件を確認する

㋑相加相乗をつかう

㋒等号成立条件を確認する

の3段階です。

このうち、もっとも大切なのは

㋒等号成立条件を確認する

ことだと思って下さい。

 

㋐使用条件を確認する

相加相乗の不等式には、前提条件がついています。

相加相乗の不等式を使うときは、きちんと

「〇 > 0」「◇ > 0」

の条件を確認しましょう。

 

㋑相加相乗をつかう

前提条件を確認したら、相加相乗を使います。

最大・最小を求めるときには、

〇≧(定数)

の形になるよう使うのがコツです。

 

㋒等号成立条件を確認する

これが最重要です。

相加相乗の誤答の原因は、

等号成立条件をみていない

ことです。

そのため、この等号成立条件さえ確認していれば、

誤答にはならないと言えます。

 

相加相乗の不等式を使うときは、必ず

㋐~㋒の型 を守って下さい。

この型を守れないと、相加相乗の不等式は使い物になりません。

練習問題に取り組むときは、

㋐→前提条件確認 問題なし!

㋑→不等式発動 放て!

㋒→等号成立条件 確認よし!

を3点セットで行い、クセにして下さい。

繰り返しですが、特に㋒。

ここをクセにすることが重要です。

後々、ハイレベルな問題に取り組めば取り組むほど、

この重要性が分かってきます。

 

 

いかがでしょうか。

式と証明の最後も、中々に重いですね。

不等式の証明は、「小さいものに置きかえる」感覚を掴むことを意識して、

練習しましょう。

相加相乗平均の不等式は、練習を通じて、

正しい型をクセにしましょうね。

 

ここで学んだ内容は、大学入試の数学でも実戦級の計算になっています。

そう簡単に習得できるものではありませんので、

粘り強く勉強していきましょう。

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