スタディサプリ 高1・高2 トップレベル数学ⅠAⅡB 第20講 数列の和と一般項|中学受験エリート

スタディサプリ 高1・高2 トップレベル数学ⅠAⅡB 第20講 数列の和と一般項

大学受験エリートのSuuです。

この記事では、スタディサプリの映像授業について、

「オススメの視聴法」

「授業のポイント」

などを紹介していきます。

 

今回扱うのは、

高1・高2 トップレベル数学ⅠAⅡB 第20講

数列の和と一般項

です。

 

数列の一般項から数列の和を求めるのではなく、

数列の和が与えられたとき、どう処理するのか?

を解説する講座です。

 

具体的には、

a1+a2+a3+……an=Sn

で、Snが分かっているケースの処理です。

 

チャプター1でも紹介されていますが、

このときの処理は定番です。

次の①、②を利用します。

①n=1を代入した a1=S1 からa1を求める

②an=Sn-Sn-1 からanを求める

①、②ともに、覚えるようなものではありません。

①はただ代入しただけですし、②もSnの意味から直ちに従います。

①、②の詳しい解説はチャプター1で堺先生がしてくれているので、

不安な人はチャプター1を視聴しましょう。

 

Chapter1

問題(1)、(2)の解説です。

①n=1を代入した a1=S1 からa1を求める

②an=Sn-Sn-1 からanを求める

について、その理由を解説してくれています。

わざわざ覚えるほどのものではないので、実戦ですぐに思い出せるように、

しっかり理屈を習得しておきましょう。

 

そして、1つ注意点がありましたね。

②an=Sn-Sn-1 からanを求める

は、n≧2での関係式という点です。

そのため、n=1については別途確認が必要です。

 

ここまではよくある注意なのですが、

n=1のときとn≧2をまとめられる条件と、見抜き方

について説明しているのも面白いですね。

 

知らなくても困らないのですが、知っていると得な気分になれます。

具体的な条件のネタバレは避けます。

ぜひ、授業動画で確認しましょう。

……と思ったのですが、やっぱりヒントだけ出します。

 

①a1=S1 からa1を求める

②an=Sn-Sn-1 からanを求める

と、2通りの計算をしたものが一致するのはいつか?

が問題です。

②の計算が、n=1でも通用するのか?

という判定とも言えます。

そこで、②にn=1を代入してみましょう。

a1=S1-S0

S1とはa1と同じなので、

a1=a1-S0

この式が正しいのなら、②の計算はn=1、

すなわちa1の計算でも使えるはずです。

逆に、この式が正しくないなら、②の計算はn=1のときにおかしくなります。

そのための条件は何か? と考えるといいでしょう。

(ほとんど答えを言ってしまったかもしれません。)

 

ところで、n=1 と n≧2 を分けて処理する問題は他にもありましたよね。

そう、階差数列の一般項を求める計算です。

an+1-an=(nの式)

から、一般項anを計算するときは、n≧2の条件で計算するのでしたね。

階差数列でも、n=1 と n≧2 を分けて計算した後、

n≧1とまとめられるか?

をチェックすることをしました。

この、階差数列のときはどうなのでしょうね?

つまり、

階差数列の計算について、n=1のときとn≧2をまとめられる条件と、見抜き方

はどうなっているのでしょう?

せっかく、Snがらみの話を勉強したのですから、

階差数列についても考察してみましょうよ。

トップレベルを目指す人は、こういうところも知っておきたいですね。

(考えるヒントは、この記事の中で、先ほど示しました。)

 

Chapter2

問題(3)、(4)を扱うチャプターです。

Sn=(anとnの式)

というタイプの問題です。

 

チャプター1の問題(1)、(2)からは少し変形されていますが、

基本的なところは同じです。

①n=1を代入した a1=S1

②an=Sn-Sn-1

を使って解答します。

問題(1)、(2)と違う部分は②です。

Snにanが入っているため、

②から得られるのは数列anの漸化式になります。

漸化式に帰着できれば、あとは漸化式を解くだけですね。

また、問題(3)の解説で紹介されている小技も重要です。

anとan-1の漸化式ではなく、普段から解きなれているan+1とanの漸化式で処理する

のは、いい小技です。

そのために、②を

an+1=Sn+1-Sn

の形で使うのが、地味ながらいいテクニックですね。

ぜひ、授業動画を視聴して吸収しましょう。

 

問題(4)は、ちょっと難易度があがっています。

授業動画で解説されている流れの方が「キレイ」なのですが、

実戦的には別解も練習しておきたいですね。

それは、

実験→一般項予測→帰納法で証明

の流れです。

 

始めからキレイな流れで、理想的に解けるとは限りません。

与えらえた条件からa1,a2,a3,a4ぐらいを計算すると、

一般項の予想がつきそうです。

そこから、数学的帰納法を使って証明する作戦です。

トップレベルを目指す皆さまは、ぜひこの方針で問題を解いてみましょう。

ポイントは、

Sn+1=Sn+an+1

として、Snの計算には帰納法の仮定が使えるよう工夫するあたりでしょうか。

非常に原始的な解法ですが、案外頼りになる解法です。

(補足: 普通の帰納法でも行けそうですね。失礼しました。)

 

こういった問題でも、「実験」は重要です。

a1,a2,a3,a4を計算する過程で、色々と見えてくることがあります。

最終的にキレイな解法を狙う場合でも、

「まずは実験する」という行為はムダになりません。

遠慮なく、ガンガン実験するのをオススメします。

 

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