るるぶ高校数学 数B ①数列 その6 シグマ計算(実践練習)|中学受験エリート

るるぶ高校数学 数B ①数列 その6 シグマ計算(実践練習)

こんにちは!

大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の勉強ポイント、みどころ、落とし穴などを紹介する

るるぶ高校数学のコーナーです。

 

今回は、

数B 数列 その6 シグマ計算(実践練習)

です。

前回

 

前回のシグマ計算(基礎練習)の内容は大丈夫でしょうか。

シグマ計算を勉強する上で、絶対に外せないポイントを紹介しています。

小手先の公式うんぬんで勉強するのは危険です。

前回の内容・練習をしっかり行う前提で、今回の

シグマ計算(実践練習)

がありますから、注意して下さい。

(注意 前回の記事と同様に、

Σの「k=1からnまで」の部分は省略します。)

 

ポイント① Σ計算は「バラバラ」に計算できる!

Σ計算の最重要公式から紹介します。

 

Σ(ak+bk)=Σak + Σbk

Σpak=pΣak

 

この2つが、Σ計算の最重要公式です。

ややこしく見えますが、

「足し算の順序交換」と「分配法則」

をやっているだけの公式です。

ですので、

「Σ計算の意味」

が掴めてくれば、

「この公式が、当たり前」

と思えるようになります。

 

 

先ほどの公式ですが、

足し算はバラバラにしていいよ

定数倍は前に出していいよ

の2つを主張しています。

このような性質を、「線形性」と言います。

 

「線形性」の使い方ですが、

Σ(k2+4k)

=Σk2+4Σk

のように使います。

「k2+4kのΣ」は、

「k2のΣ」と「4倍の『kのΣ』」

に分解して、バラバラに計算できますね。

 

線形性については、「成り立たない例」も知っておきましょう。

例えば、三角比が有名です。

sin(x+y)を分配して、sinx+siny

とはできませんよね。

(代わりに、加法定理を使ってバラすことになります。)

 

ちょっと脱線しますが、sin,cosや、指数・対数の計算は何故ややこしく感じるのでしょうか?

それは、「線形性」が成り立たないからです!

言いかえると、慣れしたんだ「分配法則」の感覚で計算できないからです。

一方で、Σは「分配法則」の感覚で計算ができます。

そのため、記号にさえ慣れれば、

「今まで慣れた、普通の計算感覚」

で扱えるのがΣ記号のいいところです。

 

ポイント② Σk,Σk2,Σk3 はキッチリ覚える

次の3式は、暗記すべき式だと思って下さい。

 

Σk = n(n+1)/2

Σk2 = n(n+1)(2n+1)/6

Σk3 = {n(n+1)/2}2

 

実戦でΣ計算を利用する際の、ベースとなる基本公式です。

サラサラと、この結果が出てこないと計算に詰まります。

2乗、3乗については、すぐに導くのが大変なので、

暗記した方が効率的です。

(導き方は色々とありますが、面白いアイデアが詰まっています。

余裕があれば、導き方も一度見ておきましょう。)

 

とはいえ、まともに暗記するのは

Σk2

の公式だけです。

Σkについては、「等差数列の和の公式」そのままと言えます。

Σk3については、「Σkの2乗」と覚えておけばOKです。

 

ポイント③ Σrkの計算も知っておこう

ポイント②の3式に加えて、次の計算もパッとできるのが大切です。

 

Σrk=r(1-rn)/1-r

 

参考書には載っていない式かもしれません。

(実際、私の手元の有名参考書には載っていませんでした。)

ですが、実戦で重要になるΣ計算です。

 

仰々しく紹介した公式ですが……

ただの、等比数列の和の公式です。

改めて新しく覚える公式ではありませんね。

大切なのは、

Σ(等比数列)

の計算が、パパっとできることです。

ちょっと盲点になりがちなので、忘れないよう意識しておきましょう。

演習問題が不足する可能性があるので、

『今まで練習した「等比数列の和の計算」を、

Σ記号で表して、計算みる』

といった具合で、練習するのもいいと思います。

 

 

ここまでが、Σ計算の基本的な知識になります。

ここからは、応用的な計算パターンを先走って紹介しましょう。

 

ポイント④ Σ(分数) は、部分分数分解を疑おう!

Σ計算の勉強をしていくと、

Σ1/k(k+1)

の計算を学習します。

 

ネタバレをすると、

1/k(k+1)=1/k - 1/(k+1)

部分分数分解を利用して計算します。

 

そういう上手い計算があるんだな、と納得しましょう。

Σ(分数) の形をみたら、

部分分数分解の利用を疑う

と思ってもOKです。

 

ポイント⑤ Σ(等差)×(等比) は、「公比」をかけて引く

次の有名パターンは、

Σ(等差)×(等比)

の型です。

 

数式の形も紹介しておくと、

Σrn(pn+q) 

のように、

Σ(nの指数関数)×(nの1次式)

の形の計算です。

 

この形のΣ計算は、

S=Σrn(pn+q) 

とおいて、

『rS-Sを考える』

のが定番の方法です。

呪文としては、

『公比をかけて、引き算』

という動きです。

 

この計算でうまく行くカラクリは、

等比数列の和の公式の導き方

と同じです。

 

 

前回の基本と、今回の①~⑤を習得すれば、

大学入試で必要なΣ計算の知識はそろうと思います。

そういう意味で、

実は、習う内容自体は多くない

のがΣ計算です。

それなのに難しく感じるのは、やはり

記号が新しく、慣れるのが大変

だからでしょう。

 

面倒ですが、

Σ記号と和の書き下しの変換を毎回やりながら、

今回紹介した公式を覚える・使う練習をしていきましょうね。

 

頑張りましょう!

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