るるぶ高校数学 数B ①数列 その9 漸化式(入門編)|中学受験エリート

るるぶ高校数学 数B ①数列 その9 漸化式(入門編)

こんにちは!

大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の勉強法、見どころなどを紹介する

るるぶ高校数学のコーナーです。

 

今回は、

数B 数列 その9 漸化式(入門編)

です。

前回

 

いよいよ来ました、漸化式です。

数列の終盤戦ですが、非常に重要な内容です。

個人の意見ですが、

漸化式と帰納法を扱わないと、数列を習った意味がない

レベルで重要です。

 

漸化式の前提となる感覚を、以前の記事で紹介しました。

そちらも参考にして下さい

るるぶ高校数学 数B ①数列 その2 数列の基本(「帰納的」編)

 

ポイント① とにかく計算練習をして、「漸化式を解ける」ようになろう!

まず、漸化式を勉強するときの心構えとして。

解き方を覚えて、徹底的に計算練習

を心がけて下さい。

 

イメージなのですが、

中学数学の「1次方程式」

と似ています。

 

1次方程式ですが、本当のゴールは

自分で方程式を立てて、方程式を解く

というアクションです。

方程式の応用と呼ばれる、文章題の問題ですね。

 

漸化式も同じで、漸化式を習うゴールは

自分で漸化式を立てて、漸化式を解く

です。

漸化式の応用ですね。

 

ただし、応用の以前に、

「漸化式を解く」

という動作を、サクサクできないと困ります。

1次方程式も、そもそも方程式が解けないと応用も何もありません。

 

ここにきて、急に「理解」よりも「計算」の重要度が増します。

注意しましょう。

ただし、その入口に立つのが大変だったりします……。

 

ポイント② 漸化式をみたら、実験しよう

an+1=2an+3

のように、

n番目とn+1番目の関係式

漸化式と呼ばれるものです。

 

実際に数列を定めるには、最初の数も決める必要があります。

 

a1=1

an+1=2an+3

を考えてみましょう。

 

こういう漸化式を見たら、

具体的に実験する

ことをクセとしましょう。

最初のうちは、特にこの訓練が重要です。

 

実験の具体的な内容ですが、

a2, a3を計算する

でOKです。

 

実際にやってみましょう。

漸化式

an+1=2an+3

に、n=1を代入します。

a2=2a1+3

a1=1ですから、

a2=2×1+3=5

 

ふむふむ。具体的にa2=5と分かりました。

続けて、先ほどの漸化式にn=2を代入します。

a3=2a2+3

a2=5と分かっていますから、

a3=2×5+3=13

ふむふむ。具体的にa3=13と分かりました。

 

どうでしょう、

一歩一歩、aが決まっていく

感じがしませんか。

 

この「一歩一歩」という感覚が大切です。

この「一歩一歩」の過程を、

n番目とn+1番目の関係式

としてまとめたのが漸化式と思いましょう。

 

漸化式を学習する最初は、必ずこの実験を繰り返しましょう。

実験の繰り返しによって、

「一歩一歩」という感覚

「一歩一歩」をまとめた漸化式のイメージ

を掴んでいけます。

 

漸化式の解き方を習うと、すぐに「解こう」としてしまいがちです。

ですが、まずは一旦落ち着いて具体的な実験をしましょう。

 

ちなみに。

大学入試の実戦で出てくるような、難しい漸化式であるほど

具体的な実験

が大切になります。

見たことのない漸化式でも、実験することで

実は簡単な数列と分かる

漸化式のカラクリが見えてくる

ことがあります。

これらが解答の糸口になることも多いです。

 

『実験』は、初学者向けのアドバイスのようで、

実は上級者向けのテクニックでもあります。

ぜひ、実践して下さい。

 

ポイント② 今まで習った数列の漸化式を見抜け!

漸化式から、一般項を求めることを「漸化式を解く」といいます。

漸化式を解くことが、1つの目標になります。

 

では、漸化式の解き方を……

と、その前に。

今の段階でも、すでに解ける漸化式がありますね。

それは、「今まで習った数列」です。

今まで習った数列なら、一般項の計算ができます。

 

例えば、漸化式を見て

「これは等差数列だ!」

と見抜ければ、一般項なんてすぐに分かります。

それが、「漸化式が解けた」と言ってOKです。

 

とすると。大切なのは、

漸化式を見て、「今まで習った数列」を見抜く

能力です。

 

そこで、今まで習った数列の漸化式を見ておきましょう。

これらの漸化式は、「解き方」などありません。

今まで習った知識で、一般項を計算します。

 

等差数列の漸化式 an+1=a+ d

「同じ数を足してつくった数列」

が等差数列でした。

そこで、

(n+1番目の数) = (n番目の数) +(定数)

というのが等差数列の漸化式です。

 

ここまで、1つ1つの式の意味を考え、

数列の記号に習熟してきた人なら、パッと見で見抜けるはずです。

「形を覚える」

のではなく、

「式の意味から判断する」

ことができることが大切です。

 

ただ、一応、見抜くポイントを紹介しておきます。

anの係数が1

「+定数」は、nと関係のない定数

の2点が、等差数列の漸化式になる条件です。

 

また、変形として

an+1-an=d

の形も、等差数列と見抜けるようになりましょう。

 

等比数列の漸化式 an+1=r・an

「同じ数をかけ算してつくった数列」

が等比数列でした。

そこで、

(n+1番目の数) = (n番目の数) ×(定数)

というのが等比数列の漸化式です。

 

変形として、

an+1/an=r

という形も考えられます。

 

この後学習する、定番の基本漸化式が等比数列に関わるため、

本当に一瞬で見抜けないといけません。

 

階差型の漸化式 an+1=a+ (nの式)

等差数列の派生形です。

 

anの係数が1

というのは等差数列と同じなのですが、

「+定数」が、「+nの式」となっている場合です。

 

一般項の計算が少々厄介でした。

「Σ」が絡んだり、「n=1のときは別」などの細かい注意が必要でしたね。

 

 

 

まずは、実験を通じて「一歩一歩」の感覚を掴みましょう。

数学的にも重要な感覚で、「数学的帰納法」を理解するときにも必要です。

さらに、実験のクセは高級な問題を扱うときほど重要になってきます。

 

そして、「習った漸化式を見抜く」パートですが……

ここは、今までの学習姿勢が問われます。

数列の記事で繰り返し言っていることですが、

〇〇数列! 公式暗記!

としていると、いつまでたっても苦しいです。

一方で、「記号の意味」「数式の意味」がサラリと浮かぶようになっていれば、

漸化式から基本数列を見抜くのは簡単です。

 

 

今回の記事ではたどり着けませんでしたが、

最終的に「計算練習」が最重要です。

ですが、その入口に立つために、

「理解」の部分が要求されます。

厄介ですね~。

 

次回はやっと、

漸化式らしい漸化式の問題

に入ります!

頑張りましょう!

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