スタディサプリ 高1・高2 トップレベル数学ⅠAⅡB 第39講 虚数と方程式|中学受験エリート

スタディサプリ 高1・高2 トップレベル数学ⅠAⅡB 第39講 虚数と方程式

大学受験エリートのSuuです。

 

この記事では、スタディサプリの映像授業について、

「オススメの視聴法」

「授業のポイント」

などを紹介していきます。

 

今回は、

高1・高2 トップレベル数学ⅠAⅡB 第39講

虚数と方程式

です。

 

今回の問題は、難易度自体は高くありません。

ただ、扱いや考え方に慣れていないため、難しく感じると思います。

普段はあまり扱わないし、考えない内容かもしれません。

イメージとしては……

「文字が複素数の場合、色々注意が必要」

と捉えておきましょう。

 

この記事では、-1の平方根をiで表すことにします。

また、「虚数」という用語はあまり使わず、

「複素数」という言葉を使います。

慣れない人は、「複素数」は「虚数」のことだと思って読んで下さい。

 

Chapter1

問題(1)を扱うチャプターです。

 

p,qが実数のとき、

p+qi=0 ⇔ p=q=0

 

という重要な性質を示す問題です。

直感的に当たり前と感じるので、

「分からない」「知らない」という人は少ないかもしれません。

ただ、重要なのは

「p,qが実数のとき」

という条件です。

 

授業動画の最後のあたり、15分20秒ごろから、

堺先生が上記の注意について説明してくれています。

ここが肝心なところなので、ぜひ、最後までしっかり視聴しましょう。

 

ちなみに、この問題(1)をみたとき、

私はハッとしました。

証明すべき内容について、

「複素数の定義・構成からただちに従う」

と思っていたからです。

(あるいは、ほぼ複素数の定義の一部ぐらいに思っていました。)

 

しかし、なるほど。証明できた方がいいですね。

私がパッと浮かんだ証明は、

p+qi=0

の両辺にp-qiをかけて、

p2+q2=0

p,qは実数だから、p=q=0

でした。

(複素数平面を知っていると、

ただ絶対値を調べただけと分かります。)

 

堺先生も2通りの証明を紹介してくれていますが、

上記の証明もよかったら参考にして下さい。

いずれの証明方法も、

「複素数の話は分かりにくいので、

iを消して実数の話に落とす」

という考えは共通しています。

 

1つ補足しておきます。

p,qが実数のとき、

p+qi=0 ⇔ p=q=0

という命題から、次の性質も直ちに従います。

p,q,r,sが実数のとき、

p+qi=r+si ⇔ p=rかつq=s

証明は移項して考えるだけです。

 

恒等式と近い雰囲気を感じるのは私だけでしょうか。

 

 

Chapter2

問題(2)の解説です。

これが一番、「虚数と方程式」というタイトルにあっている印象です。

 

前半の方法1による解法も素直なので、しっかりおさえておきましょう。

解にもつから、その解を方程式に代入

→(実数)+(実数)i=0

の形に整理して、処理する

 

という方針です。

ポイントは、

(実数)+(実数)i=0

の形に整理することです。

複素数の扱いで困ったら、

(実数)+(実数)i

の形に戻って考えるのが基本です。

そのために、問題(1)の内容を確認したのでした。

 

 

さて、後半で解説される方法2の方がテクニカルです。

可能ならば、こちらの解法がパッと浮かんで欲しいところですが……

堺先生の言う通り、グレーな感じが確かにあります。

念のため、方法2で使っている内容の背景を確認しましょう。

 

①解と係数の関係

解と係数の関係は、解が実数だろうと、複素数だろうと使ってOKです。

本当は、

「複素数係数の方程式」

に対しても使えますが、これを使っていいかどうかは悩ましいですね。

(もっというと、別に複素数である必要すらなく、

任意の体上の代数方程式に対して成り立つ関係です。)

複素係数に対して解と係数の関係を使いたい場合は、

証明を入れた方がいいかもしれません。

証明は単純で、因数定理を繰り返して係数比較をするだけです。

 

②実数係数の方程式式に対して、zが解ならzの複素共役も解になる

この結果自体は非常に有用なので、ぜひ知っておきましょう。

解と係数の関係と絡めれば、方法2のようにスマートな処理が実現されます。

実は、証明も非常に簡単です。

 

「実数pに対して、実数pの複素共役はp自身」

「複素共役は、四則演算に対してバラシてOK」

という2つが証明の素材です。

実数係数の方程式

pnxn+pn-1xn-1+……p0=0

の解がzのとき、その解を代入して

pnzn+pn-1zn-1+……p0=0

この両辺に複素共役をとり、上記の2つの素材で計算するだけです。

(ちょっと騙されたような証明になります。)

 

ただし、証明の素材自体を使っていいのか怪しいかもしれません。

今手に取った参考書では紹介されていませんでした。

堺先生の言う通り、答案は方法1でかき、

方法2は検算として使えるとベストかもしれません。

 

Chapter3

問題(3)の解説です。

複素係数の方程式はまず扱わないので、中々慣れないと思います。

(というか、私も慣れていません 笑)

 

堺先生の説明が分かりやすい思いますが、違う見方も紹介しておきます。

『「√」の中身は、正の数』

というのは、トップレベルを目指す人ならしみついた感覚だと思います。

ここで、「正の数」と言ったときは、必ず実数であることが前提です。

そのため、

「√」の中身に、複素数がくるのはヤバイ

とも言えます。

そういう視点からも、

解の公式を直接使うのがマズイかな?

と感じられるようになりましょう。

 

色々とありましたが、

「複素係数が絡むと、今までの感覚が使えない」

ということが掴めれば十分だと思います。

係数が実数か? 複素数か?

でかなり議論が変わるので、その点は常に注意しましょう。

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