こんにちは！
大学受験エリートのSuuです。
高校数学の勉強のポイント、落とし穴などを紹介する
るるぶ高校数学
のコーナーです。
今回は、
数Ⅰ ２次関数 その５ ２次関数の最大・最小（応用編）
です。
→前回
前回の基礎編の内容は大丈夫でしょうか。
しっかり勉強ポイントをおさえたうえで、
２次関数の最大・最小の基本問題をしっかり練習することが大切です。
やみくもに練習をしても、なかなか応用問題へ対応するのは難しいです。
基礎練習で大切なことは何か？
をしっかり把握したうえで、コツコツ練習しましょう。
さて、それではいよいよ、２次関数の最大・最小の応用編に行きましょう。
今回は、
関数やxの動く範囲に文字が入っていて、
場合分けが発生する最大・最小
がターゲットです。
ポイント① なんで場合分けをするのか？ を意識しよう
場合分けの勉強をする際は、必ず
「なぜ、場合分けをするのか？」
を意識します。
２次関数の最大・最小の問題で場合分けをするときは、
文字が入っているせいで、
グラフの軸とxの動く範囲の位置関係が分からない
→グラフの軸とxの動く範囲の位置関係で、場合分け
というのが場合分けの動機です。
この場合分けの動機が、すべての出発点になります。
ポイント② 落とし穴注意！ 「グラフがこういう状況なら……」から考える
ここでも、教科書や参考書で勉強するときの落とし穴があります。
模範解答では、
『a＞0のとき、図のように……』
という流れで書いてあることが多いです。
この流れは、完全に逆モーションです。
つまり、
aがこの範囲のとき、図はこうなって……
ではなく、
図がこうなるとき、aはこの範囲になるから……
という順番で考えます。
２次関数の最大・最小問題で場合分けをする場合の初動は、
図の状況
です。
まずは、図の状況で場合分けを考える。
その後で、具体的に文字aの動く範囲を考える。
必ずこの順番で処理します。
巷にある模範解答に騙されないよう、本当に注意して下さい。
ポイント③ 図のかき方に注意！ 「グラフから」図をかいていく
グラフの軸とxの動く範囲の位置関係が分からない
ことから、
グラフの軸とxの動く範囲の位置関係で、場合分け
することになります。
具体的には、
最大・最小値が特定できるような、
グラフの軸とxの動く範囲の位置関係のケースを考える
ことになります。
このとき、図をかいて考えることになりますが……
必ず、放物線のグラフを最初にかきます。
そして、
xの動く範囲
をグラフにかき足してあげます。
ここが本当に大切です。
「２次関数の最大・最小の、場合分けができない」
と悩んでいる生徒の多くは、図をかく順番が間違っています。
真面目に、
x軸、y軸、頂点、切片、……そして、グラフ
のように、グラフを最後にかこうとしています。
この真面目なかき方では、残念ながら場合分けができません。
何故なら……
どういう状況なのか？ が分からないから場合分けしているのです。
そのため、そもそも精密で正しいグラフはかけないのです。
それなのに正しいグラフをかこうとして……
結果が、手が止まってしまいます。
２次関数の最大・最小問題の場合分けでは、
まず放物線のグラフからかきます。
その次に、グラフに対して「ｘの動く範囲」を書きこみます。
「ｘの動く範囲が、軸の左側」
「ｘの動く範囲が、軸をふくむ」
「ｘの動く範囲が、軸の右側」
の３パターンほどかけば、大体大丈夫です。
（難しい問題なら、もう少し精密な場合分けも必要になります。）
この、
グラフ→ｘの動く範囲
の順に図をかいて、
場合分けの３パターンの図がかけること！
これが、応用編に対応するポイントです。
ポイント④ 「場合分けの図」にそって、計算していく
「グラフがこういう状況だったら……」
という、場合分けの図さえかければもう一歩です。
かいた図を見ながら、
「ｘの動く範囲が、軸の左側」
「ｘの動く範囲が、軸をふくむ」
「ｘの動く範囲が、軸の右側」
という条件を、数式で表現していきます。
例えば、
「ｘの動く範囲が、軸の左側」
だったら、
ｘの動く範囲の右端△が、軸の位置〇より左側
→△＜〇
といった具合で、数式として表していきます。
状況さえ特定できれば、ほぼ解けています。
あとは最大・最小を計算するだけですからね。
ポイント⑤ 不等式は、（小さいもの）＜（大きいもの） と書こう
「a＞0のとき」のように、場合分けの状況を不等式で表す場面が出てきます。
後々のために、不等式の書き方をルール付けするのがオススメです。
グラフが絡んだ状況を不等式で表す場合は、
（小さいもの）＜（大きいもの）
の形で書くのがオススメです。
さきほどの「a＞0」は、「0＜a」で書きます。
理由は、この書き方だと
「グラフ上の左右」と「不等式の左右」が一致する
からです。
図の状況を不等式で表そうとするときに、
どっちが大きいのかな……と混乱して、
不等号の向きを間違えるミスがよくあります。
そのミスを防ぐために、
図で左側にあるものを、式の左にかく
とします。
図の視覚的な情報と、式の情報の左右関係を一致させることで、
迷う要素をなくしましょう。
それが、ミスをなくすことに繋がります。
ポイント⑥ 「x=〇のとき」 「最大値△」と丁寧に書こう
これは、基本編でも注意したポイントです。
少し長くなりますが、最大・最小の問題を扱うときは
「x=〇のとき」 「最大値△」
と、丁寧に答えを書きましょう。
特に、
「x=〇のとき」 はｘの値
「最大値△」 はｙの値
であることを、しっかり意識します。
この辺りは、基本編からしっかり意識して勉強することが大切です。
なんでこんな注意をするのかと言うと……
「最大値にｘ座標をかく」といったミスが多発するからです。
何がｘの値で、何がｙの値か？
を、基本から練習することが大切です。
応用編ですが、まずは基本編をしっかり練習することが大前提です。
それでも……やはり、最初は簡単に行きません。
何度もつまづきながら、練習を重ねていきましょう。
２次関数の最大・最小の応用編をしっかり習得できれば、
今後の高校数学を勉強していくうえでの「地力」はかなりつきます。
難しい分、習得できたときの恩恵が大きいので、
ぜひ頑張りましょう。