大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを紹介します。
今回は、
高１・高２ トップレベル数学ⅠAⅡB 第４０講
解の個数
です。
今回の講座のテーマですが、
「解の個数」というより
「異なる実数解の個数」
と言った方が正確でしょうか。
平たい言い方で表現すると、
「文字の置き換えをしたときの、解の個数の扱い」
となります。
式が複雑な難しい問題ほど、
文字を置きかえて簡単な式での処理が必要になります。
そのときの解の個数について扱うのが今回のテーマです。
平たい言い方をしましたが、数Ⅲをバリバリ勉強し、
トップレベルの中のトップレベルを目指したい人向けの説明もしておきましょう。
この講座は、
y=f(x),z=g(y)の合成関数
g∘f(x)の解の個数がテーマです。
（文字の置き換え＝合成関数と思ってOKです。）
色々と複雑な操作をしていますが、
逆像g-1(z),f -1(y)が有限集合のとき、
(g∘f)-1(z)の個数
=Σ （f-1(y)の個数） (yはg-1(z)を動く)
という話をしています。
もっと一般的な表現をするならば、
(g∘f)-1(A)
=f-1(g-1(A))
ということですね。
合成関数の逆像を考えるのだから、
各関数の逆像をそれぞれしっかり調べればいい
というのが、この講座でやっている内容です。
（注意 上の「ー１」は、逆像を表す記号で、
逆関数ではありません。）
抽象的な言い方をしましたが、
しっかりと合成関数の図をかきながら、
上記の理屈も確かめておきましょう。
Chapter1
問題（１）の解説です。
冒頭で堺先生も触れていますが、
４次関数のグラフがかける人は、４次関数のグラフで攻めるのも有力です。
３次関数の延長なので、数Ⅲを習わずとも処理が可能かと思います。
トップレベルを目指す人は、ぜひ４次関数のグラフで処理する作戦もトライしましょう。
（実際の入試なら、私は４次関数の方針で攻めると思います。）
さて、別解の話は切り上げて、
「置きかえ」
で解く方法に戻りましょう。
堺先生も指摘していますが、
新しい変数をおいたときは、
動く範囲を必ずチェックする
というのは超重要事項です。
トップレベルを目指す人は、クセになるまで練習した方がいいです。
具体的には、
『x2+2x=tとおくと』と書いたその瞬間に、
tの範囲を確認しておきます。
このことを必ずクセにしましょう。
置きかえもそうですし……あとは、
文字を消去するとき
なども、変数の範囲確認をします。
これらの範囲確認ですが、
「後からやろう」とすると確実に忘れます。
あたし文字が出たとき
今まである文字を消すとき
の２つは、その瞬間に必ず範囲確認をするのをクセにしましょう。
さて、この問題では「異なる実数解の個数」が必要です。
そのため、単に範囲確認をするだけでは不十分ですね。
t=〇のとき、xの異なる実数解の個数は？
という情報を、精密に調べる必要があります。
やること自体は、
２次関数の解の個数調べを２回頑張る
だけで、１つ１つ操作はシンプルです。
ただ、理論的な背景は
合成関数の逆像
が隠れていて、意外と抽象的で捉えにくい話題です。
堺先生が「苦手な人が多い」と言っていたのは、
そのあたりが原因ではないでしょうか。
そういった、抽象的で難しい内容を理解するときに大切なのは
具体例で実験する
という経験です。
kの値によって、tの数がどう変わるか
そこから、xの個数がどう変わるか
を、堺先生が具体例で確かめてくれています。
眺めて終わりではなく、ぜひ自分でも実験してみましょう。
具体例を通じた実験が、一番理解に役立ちます。
tの値がどこか、xの値がどこか……というのが混乱しやすいので、
こう言う問題では「x軸」「t軸」をキッチリかきましょう。
そのうえで、軸に注目しながら、tやxの値がどこを表すのか、
丁寧にチェックするのがポイントです。
Chapter2
問題（２）の解説です。
基本的な考え方は、問題（１）のときと変わりません。
トップレベルを目指す人は、問題の与式を見た瞬間に
「これは、sinθの２次式に変形できるな」
ということを見抜きましょう。
どういう形に変形できるかを見抜くのは、非常に重要です。
「sinθの２次式に変形できるから、
t=sinθとおけば
後は２次関数の解の個数の問題で処理できそうだ」
という見通しを事前に立てるには、
ある程度式変形の先が見えている必要があるからです。
この講座の中で問題を解いているだけならいいのですが、
実際の入試問題では
「どういう解き方・処理が有効なのか分からない」
状況で、方針を決める必要があります。
そのときに頼りになるのが、事前に式変形を見通す力です。
今のうちから、実戦をイメージしながら、
１つ１つの入試基礎知識を吸収していきましょう。
Chapter3
問題（２）の別解を扱うチャプターです。
問題（２）の王道の解き方はチャプター２の解法です。
まずはそちらをしっかり習得しましょう。
（というより、恥ずかしながら、
私はこのチャプターの解法は浮かびませんでした……）
とはいえ、直感的に何をやっているかが見やすい解法です。
また、
『実際の入試ではこのような解き方しか浮かばない』
という場面もあるかもしれません。
しっかり視聴して、参考にしましょう。