大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを紹介します。
今回は、
高１・高２ トップレベル数学ⅠAⅡB 第１０講
３次の接線と交点について
です。
今回の授業も、大変すばらしいです。
取り扱われている内容が最高ですね。
数学的な内容の面白さ
大学受験数学でのテクニック
の両面から、すばらしい内容が解説されています。
神授業だと感じました。
かなり希少なテクニックなので、オープンにするのはいかがなものかと感じます。
そこで、この記事ではネタバレにならないように紹介しています。
詳しい内容は、ぜひぜひ、授業動画を視聴して確認しましょう！
Chapter1
計算がキレイにならないだけで、扱われている問題は基本問題です。
トップレベルを目指す人なら、方針がサラサラと浮かんで、
サクッと解けて欲しいですね。
さてさて、いつもの計算が続いて……
５分１０秒ごろ！ ここでストップ！
ここから、大事な内容が説明されています。
３次関数f(x)と、１次関数g(x)が
x=5で接しているのだから、
f(x)-g(x)は(x-5)2を重解に持つ
というように、f-gの因数分解の形が、
問題の設定・今までの計算の意味からある程度分かっているのですね。
これは非常に重要な技術で、この問題を解くときに必ず使って欲しい処理です。
トップレベルを目指す人は、確実に浮かぶようになりましょう。
ちょっとしたイメージですが、
２つの多項式f,gについて、
『fとgのグラフの交わり具合』
『f(x)-g(x)=0の解のようす』
『f(x)-g(x)の因数分解の形』
の３つはキレイに連動します。
３つのうちの１つが分かれば、他の情報はすべて分かるといっていいです。
上記の３つの対応関係をしっかり理解することが大切です。
さて、
『f(x)-g(x)の因数分解の形』
な～んて聞くと……なるほど、「アレ」が浮かびますね。
いや、浮かびませんか。
そうですよね、それが普通でしょう。
では、７分４０秒ごろからの「裏技」を見ていきましょう。
おお。
おお～、不思議ですね！
これは面白い！
そして計算も早い！
素晴らしい技です。
まるで手品のようですね。
昔、
『数学とは、タネをすべてオープンにして行う手品のようなものだ』
と考えていた感覚を思い出しました。
チャプター１はここで終わりですが、
何でこのような魔法の計算ができるのか。
手品のタネはどこにあるのか。
ぜひ、考えてみましょう。
Chapter2
チャプター１で紹介した「手品」のタネを解説するチャプターです。
実は、この記事のなかにもポイントが書いてありました。
『fとgのグラフの交わり具合』
『f(x)-g(x)=0の解のようす』
『f(x)-g(x)の因数分解の形』
という部分です。
ここに対する理解度が、まず１つのポイントです。
f(x)を3次関数、g(x)を1次関数としましょう。
(簡単にするため、fの３次の係数は１とします。)
この２つのグラフが、
x=αで接して、x=βで交わる （α≠β）
ときについて考えます。
このグラフの情報を、方程式の情報に書きかえましょう。
方程式f(x)-g(x)=0が、
x=αを重解にもち、x=βを解にもつ
というのが、方程式としての情報です。
この情報は、因数定理から「因数分解の形」の情報に変換できます。
f(x)-g(x)が、
f(x)-g(x)=(x-α)2(x-β) と因数分解できる
ここまでくると、何か見えませんか？
多項式の「次数」に注目するのも大切です。
じーっ……。
まだ見えませんか。では、最後の変形をしましょう。
f(x)=(x-α)2(x-β)+g(x)
移項しただけですが……
ちょっと、次数をまとめてみましょう。
fは３次式、(x-α)2は２次式、(x-β)が１次式、g(x)は１次式です。
そう、
「〇〇算」の計算の形
になっているではありませんか！
ここがまさに、手品のタネでした。
気づくと本当に面白いです。
ちなみに、「〇〇算」の意味や、各次数に注目して考えると、
fが４次でも５次でも、同じ方法で接線を求める裏技ができる
ことが分かりますね。
ちなみに、裏技なので記述式では使えないのでは……
と感じるかもしれませんが、そんなことはありません。
いきなり裏技の計算をしたらマズイですが、
しっかりと理由を添えてあげれば大丈夫そうな気がします。
理由自体も、１，２行で済むのではないでしょうか。
ただし、「しっかりと理由をかく」ことができる人は少なそうなので、
通常は検算のための裏技と思っていた方がいいです。
Chapter3
チャプター１で紹介し、チャプター２で数学的背景を解説した
「裏技」につて、色々な応用を紹介するチャプターです。
チャプター２の内容紹介で触れた通り、
この裏技は多項式の次数に無関係に使えます。
そこで、このチャプターでは
２次関数の接線計算
４次関数の接線計算
を、裏技でやる方法を紹介しています。
この裏技に慣れてくると、
２次関数の接線なんかは暗算で分かるようになります。
（実戦的には高速の検算方法として使うのがオススメです。）
最後の締めは、
４次関数の２重接線（ダブルタンジェント）の計算
を、裏技を使って処理しています。
全体を通して、非常に面白い神授業でした。
オススメの講義です。