大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを紹介していきます。
今回は、
スタディサプリ 高１・高２ トップレベル数学ⅠAⅡB 第１５講
２次の面積の計算
です。
この講座は、その前の講座である
１４講 積分の公式について
を事前に視聴した上で取り組みましょう。
１４講の公式をバシバシ使います。
むしろ、
１４講の公式を実戦でどう使うのか？
を解説した講座とも言えます。
Chapter1
問題（１）を扱うチャプターです。
まずは１４講で学習した積分公式の復習……ではなく、アップグレードです。
１４講では、「数式のみ」で積分公式を眺めて、扱ってきました。
この公式を実戦で使うときには、字面だけの暗記だと少し弱いです。
冒頭で堺先生が板書したように、
放物線と直線が交わっている部分の面積
放物線と放物線で囲まれた部分の面積
放物線と直線が接している状況での面積計算
という図のイメージともに、１４講の公式を理解しなおしましょう。
以外かもしれませんが、このアップグレードが非常に重要です。
１４講座の積分公式は、
立式したら、１４講の公式になった！
よし、積分公式でスマートに計算しよう！
という形で使うわけではありません。
問題の状況を図をかいて整理した段階で、
お、この形の面積計算なら、１４講の積分公式の出番だな
と形から判断して、公式を使う前提で計算していきます。
そのためには、図の状況と積分公式をリンクさせて覚えておく必要があります。
冒頭７分２０秒ごろまで堺先生の説明が重要です。
きちんと、図の状況と積分公式の関係を整理してくれていますので、
しっかり心に刻み込みましょう。
さて、問題（１）の内容に入っていきましょう。
ここの対処法も非常に重要です。
まずは、問題の設定を図にかいて、求めるべき面積を確認します。
図を整理しないと積分の立式ができないため、
いずれにせよ図をかく必要があります。
そして、図をかいたその瞬間に……
あっ、これは -(β-α)3/6 を使える形だ！
と気づけるようになりましょう。
大切なのは、式計算をする途中ではなく、
図をかいた時点で見抜けることです。
そうすると、その後の計算の見通しもたちます。
積分される関数を、
(x-α)(x-β)の形に表す
ことで、積分公式の形にもっていけますね。
……このときに必要なαとβは、もう分かっていませんか？
このαとβの正体は、２つのグラフの交点のｘ座標です。
それは、問題文からすでに分かっています。
ということで、
aやbを計算することなく、
直線の具体的な式の正体はまったく分からなくても、
面積だけは計算できる
という状況になります。
そんなこんなで、わずか５行ほどで答えに辿り着けてしまいました。
トップレベルを目指す人は、このようなスマートな計算方針をぜひ習得しましょう。
動画の後半は、aやbを計算してから解く方法の紹介です。
スマートな解法との計算量の違いを観察しましょう。
大変さの違いが分かりやすいですね。
この２つの解法の差は非常に大きく、計算のスピードも、正確さも大きな差になってしまいます。
スマートな解法が浮かぶようになるための、ちょっとしたアドバイスを紹介します。
y=f(x)とy=g(x)で囲まれた部分を求めるとき、
f(x)-g(x) を積分することになります。（fがgよりも上のときです）
このことから、
f(x)やg(x)の正体が分からなくても、f(x)-g(x)さえ分かれば面積が分かる
と分かります。
さらに、f(x)とg(x)が２点α、βで交わっているなら
f(x)-g(x)は(x-α)(x-β)を因数にもつ
ことが分かります。（f,gが多項式のときです）
大雑把にもって欲しい感覚として、
y=f(x),y=g(x)の交点の情報は、
f(x)-g(x)の因数分解の情報と同じ
と思って下さい。
この感覚があると、この授業動画のようなスマートな解法が浮かぶようになっていきます。
Chapter2
問題（２）、（３）を扱いチャプターです。
問題（２）は、問題（１）と同じ作戦で処理しましょう。
まずは図をかいて……
そう、図をかいた時点で、積分公式の利用を見抜く
ことがポイントです。
あとは、２つのグラフの交わりの情報から、
積分する関数の因数分解の形を見抜くだけです。
問題文は少し複雑そうに見えますが、鋭い感覚と適切な公式の利用によって、
非常にスッキリ解けますね。
この問題でも、cやdの値は求めず、直線の式が分からない状況で解けるところがポイントです。
問題（３）は少し複雑になりますが、心は同じです。
図をかいた時点で積分公式の利用を見抜きましょう。
交点Pのｘ座標が立式・計算に必要なので、しかたなく直線の式を求めるのが今までと少し違うところです。
逆に言うと、交点Ｐの座標が不要ならば、問題（３）でも直線の式を求める必要はなかったりします。
それと……２次関数のグラフ上の２点を通る直線について、
見慣れない計算も出てくると思います。
結果を覚えるというより、「何故そうなるのか？」を考えるのがオススメです。
ヒントぐらいは出しておきましょうか。
例えば、
原点が頂点である放物線
に対して考えると非常にスッキリした結果になります。
解と係数の関係をそのまま書き下しただけになりますからね。
あとは平行移動でもして考えてあげる……という方針でいかがでしょうか。