大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを紹介していきます。
今回は、
スタディサプリ 高３ トップレベル数学 第１講
１のn乗根
です。
n乗して１になる数は？
そうですね、１です。
……では、この講座は始まりません。
複素数の範囲で考えると、
ｎ乗して１になる数はｎ個存在します。
この数たちを１のｎ乗根と言います。
複素数平面で見ると、１のｎ乗根たちは
単位円周上に正ｎ角形をえがきます。
図形的に非常に整っていますから、色々な性質がありそうです。
今回は、そんな１のｎ乗根たちの扱いについて学ぶ講座です。
Chapter1
問題を扱う前に、１のｎ乗根の性質について鑑賞するチャプターです。
１の３乗根、４乗根、５乗根について紹介してくれています。
（ちょっと群論の授業みたいになっています 笑）
１の３乗根・５乗根と、４乗根では立ち振る舞いが異なります。
「ー１」は確かに１の４乗根なのですが、
(ー１)2＝１
となるので、
４乗する前に、２乗した時点で１になっている４乗根です。
このような変な奴（？）がいると、綺麗な関係性が少し崩れるようですね。
１の６乗根や８乗根でも、このような数が存在してしまいます。
１の「素数」乗根が話題になりやすいのは、この辺りが背景にあるようです。
さて、１のｎ乗根を見たら、
複素平面上での位置がパッと分かるようになりましょう。
単位円周上に、正ｎ角形をかいたときの頂点ですね。
また、代数的な計算からも分かりますが、
『１のｎ乗根の複素共役も、１のｎ乗根』
となることが図から分かりますね。
なんとなく、この堺先生の授業を見ていて、
私は群論を思い出しました。
将来数学をガッチリ勉強したい人は、この１のｎ乗根で色々と遊んでみるのも面白いかもしれません。
Chapter2
問題［A］を扱うチャプターです。
問題（１）は、１のｎ乗根の知識として知っておきましょう。
問題で聞かれていることとは少し違いますが、
１のｎ乗根をすべて足すと０になる
ことは知っておいて欲しいです。
図形的な理解としては、
正ｎ角形の重心はその真ん中、つまり原点に来る
ことから直感的に分かります。
計算的な理解は、堺先生が解説している通りです。
zn-1の因数分解や、等比数列の和の公式から導けます。
（等比数列の和の公式の分母を払えれば、zn-1の因数分解になります。
そのため、どちらで理解しても本質的には同じです）
１のｎ乗根を扱うときに活躍する性質なので、しっかり覚えましょう。
問題（２）が、問題［A］の本体でしょうか。
重心の座標をどう計算するか……
重心の式は簡単に分かりますが……
１のｎ乗根がらみですから、正ｎ角形をかいて、図で考えましょう。
どうも、実軸対称な位置にいそうです。
つまり、２つの重心を表す複素数をα、βとしたとき、
αとβは複素共役になっている
ということです。
複素共役になっている２数を見たら、
２つの和、２つの積を計算してみようかなあ？
と感じましょう。
和や積が実数になるが、複素共役な２数の特徴です。
和と積が分かるのなら……
なるほど、解と係数の関係から計算ができますね。
複素数共役になっている２数を求めるとき、
２つの和、２つの積を計算して、
解と係数の関係から２次方程式に帰着
という手筋でした。
ぜひ、実戦ですぐに浮かび、使えるように意識していきましょう。
問題（３）はオマケです。
問題（２）が解けた人へのご褒美ですね。
実軸対称になっていることに注目して、
しっかりとスマートに落としてあげましょう。
Chapter3
問題［B］を扱うチャプターです。
問題（１）は……なんだ、問題［A］の（１）と同じじゃないか……
と油断すると、大けがをしますね。
ちょっとしたひっかけかもしれません。
問題の設定から、
z=1
という嫌なケースもあることを見抜きましょう。
油断せずに問題文を読む姿勢が求められます。
問題（２）は、
「気づけるかどうか？」
の一発勝負です。
複素数自体を文字でおいて処理しているとうっかりしやすいのですが、
複素数の足し算・引き算は、
実部どうし、虚部どうしの引き算
です。
このことをしっかり思い出せれば、
問題（１）の結果がそのまま使えることに気づけます。
問題（３）は少し頭を使う問題です。
堺先生が授業で解説している、
（１）の計算を２乗してみる
というのも、ぜひトライしてみましょう。
うまくいかない計算でも、
何故うまくいかないのか？
を自分の手を動かして体験するのは、価値のあることです。
とはいえ、
問題（２）が（１）の結果が使えたから……
問題（３）でも前の問題の結果が使えないかな？
前の問題の結果を使うには、cos2θの「２乗」が邪魔だなあ……
なんとか「１乗」の形にできないか……
という妄想も非常に自然です。
この考えから、半角の公式の利用にたどり着けます。
このレベルの講座をみている人にはいまさらかもしれませんが、
半角の公式は
次数を下げる
目的で使う公式です。
（もう、「次数下げの公式」と言ってもいいかもしれません。）
半角の公式さえ使えれば、後は流れに乗っていきましょう。
cosの中身がθから２θになってしまいますが、
文字をおきかえてあげれば問題（１）の結果が使えますね。
授業動画の計算がちょっとピンとこなかった人は、
w=z2
と文字をおきかえてあげると見やすくなりますよ。