大学受験エリートのSuuです。
この記事では、スタディサプリの映像授業について、
「オススメの視聴法」
「授業のポイント」
などを、具体的に紹介していきます。
今回扱うのは、
高３ トップレベル数学Ⅲ 第５講
媒介変数で表された曲線
です。
この記事では、チャプター２について扱います。
さて、チャプター２を視聴する前に。
数Ⅲの微分・積分の計算はバッチリでしょうか？
授業動画の中でも、たびたび「計算は勉強してきているよね？」と確認が入ります。
基本計算は習熟している前提で授業が進みますので、
不安な人は微積分の計算練習に戻りましょう。
具体的には、
積の微分公式
(fg）′＝f′g+fg′
三角関数の微分
(sin x)′＝cos x
(cos x)′＝－sin x
置換積分
パラメータ表示された曲線の増減表、グラフ
はサラサラとできることが前提です。
『公式を覚えている』
ではダメです。
『公式を使った計算を、息をするようにできる』
レベルまで、計算練習を重ねて習得しましょう。
数Ⅲは、とくに計算練習が大切です。
大げさに言うならば、
数Ⅲの実力＝計算力
です。
重く、厳しい計算が多いですが、だからこそジックリ計算練習に取り組んで下さい。
Chapter2
さて、問題（２）、数Ⅲで頻出の面積・体積の計算です。
xとyの式には、sinやcosが舞い踊り、うにょうにょとした謎のグラフをえがきそうです。
うにょうにょとした図形の面積計算は……そう、積分の出番ですね。
積分を利用して面積・体積を計算する際の手順を、確認しておきましょう。
①グラフの概形を掴む
②グラフの概形をみながら、立式
③ゴリゴリ計算
です。
数Ⅱの微積分でも、数Ⅲの微積分でも、面積でも体積でも、基本手順は同じです。
授業動画の構成は、開始～１１分４０秒ごろまでが①、
１１分４０秒～１２分２０秒ごろにサクッと②、
１２分２０秒からが③です。
①グラフの概形を掴む
グラフの概形を掴むため、微分して増減表をかく必要があるのですが、
精密なグラフをかく必要はありません。
あくまで目的は、②で正確な立式をすることにあります。
積分の立式に必要なのは、
『グラフの上下関係』
だけです。
どっちから、どっちの式を引いて計算するの？
だけが知りたいとも言えます。
ですので、
極大・極小となる場所や、極大値・極小値
グラフとグラフが接しているか
など、面積を解くうえでは
ど～～～でもいい
ことです。
ただでさえ、計算が大変な分野です。
ムダな計算はムダと見抜き、始めからやらない
というのも超重要スキルです。
そのために、
「今、自分は何をしたいのか？」
「何のために、この計算をするのか？」
を常に意識しながら、数学の勉強をするのが大切です。
しつこいですが、どうしても伝えたいのでくり返します！
難しい計算でも、しっかり対応する体力
は大学受験の数学で大切な力ですが、
やらなくていい計算は、はじめからやらない
ことも重要な能力です。
これは漠然と計算をサボろう、ということではありません。
数学を理解して、一つひとつの「なぜ？」をつきつめた結果として、
不要な計算が見抜けるよう目指しましょう。
９分１０秒～１０分１０秒あたりで、求める領域の図が完成します。
このときに注目するポイントは、
K1とK2、どっちが上か？
と、
K2とx軸は、どっちが上か？
だけです。
結果論で言えば、この二つの情報さえあれば、積分の立式ができるということですね。
※注意
グラフの概形をとらえるために、最低限「増減表」は必要だと思っていいです。
そのうえで、
『極値の情報などはいらないこともある』
（この問題では不要だった）
だけで、問題によっては極値の精密な情報が欲しいケースもあります。
②グラフの概形をみながら、立式
１１分４０秒ごろから、授業動画の中でコメントされているように、数Ⅱの微積分と同じ要領で立式すればOKです。
公式としても覚えてもよいのですが、ポイントとして、
∫f(x)dx
→Σf(x)Δx
→小長方形の面積f(x)×Δxの足し合わせ
ときちんと捉えて、「何を足し合わせているのか」を意識しながら立式しましょう。
とくに数Ⅲでは、回転体の体積やバームクーヘン分割、場合によっては極座標の積分など、色々な求積の式を扱います。
どの公式も、
「何を足し合わせているのか」
を理解すれば統一的に解釈できますから、
その基本として、この問題のようなシンプルな立式でも丁寧に理解しておくことが重要です。
③ゴリゴリ計算
パラメータ表示された曲線の積分は、
パラメータの積分
に書き直すと計算しやすくなります。
積分のなかで文字を置きかえていく作業なので、
置換積分
の操作をします。
簡単に振り返っておきましょう。
置換積分ですから、
積分区間（x=〇からx=△を、t=□からt=×に変える）
積分変数（dxやdyをdtに変える）
の二つの置き換えが必要です。
積分区間の変更は、
x=f(t)の式への代入計算
を利用
積分変数の変更は、
dx=f´(t)dt
を利用
とすると、スムーズにいきます。
置換積分で変数変換さえできれば、難しい計算ではなくなります。
チャプター２の内容ですが、一つひとつの操作は決して難しくありません。
授業動画を見て「分からない」と感じる部分があったら、そこは基礎の理解・練習が足りていない部分です。
弱点が分かって良かった！
と前向きにとらえましょう。
素直に前のレベルに戻って、基礎練習を積み直すことをオススメします！