るるぶ高校数学 数B ①数列 その8 基本の確認|中学受験エリート

るるぶ高校数学 数B ①数列 その8 基本の確認

こんにちは!

大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の勉強法、見落としやすいポイントなどを紹介する

るるぶ高校数学のシリーズです。

 

今回は、

数B 数列 その8 基本の確認

です。

前回

 

前回では、階差・群数列について紹介しました。

この辺りが数列の中盤戦です。

序盤戦で勉強法を間違えていた人は、ふるい落とされるころです。

階差・群数列あたりでつまづく人は、

数列の「勉強法」から見直して、復習しましょう。

おさえるべきポイントは、「るるぶ高校数学」で確認して下さいね。

 

さて、そろそろ数列も終盤戦に入っていくのですが……

この辺りで、一回基本の確認・紹介をもう一度しようと思います。

また、ここまで拾いきれなかったポイントも補足します。

数列の本番、終盤戦目前です。

しっかり基本を確認しましょう。

 

ポイント① 文字「n」の式は、複数の関係式をまとめたもの

数列では、文字「n」が頻出します。

この文字「n」の感覚を、今一度確認しておきましょう。

 

一般項 an=3n+1

という式を見たとします。

このとき、

n=1, 2, 3, ……, 100, ……

を代入した式をイメージしましょう。

 

a1=3×1+1

a2=3×2+1

a3=3×3+1

……

a100=3×100+1

……

 

これらの無限の関係式が、

一般項 an=3n+1

には詰まっています。

 

地味ながら、

「1つの式」

というふわっとした理解ではなく、

「無限の関係式をまとめたもの」

という意識がこの後大切になります。

具体的には、数学的帰納法を勉強する際、

この感覚がないと苦しみます。

 

ポイント② 添え字の番号はズラせる

ポイント①から続く感覚です。

一般項 an=3n+1

という一般項の式ですが、

「添え字」の「n」は柔軟にカスタマイズ可能です。

 

具体的には、

an+1=3(n+1)+1

や、

an-1=3(n-1)+1

としても、元の式と同じ意味になります。

 

nに具体的な数を代入して確かめてみましょう。

a1=3×1+1

a2=3×2+1

a3=3×3+1

……

と同じ関係式の集まりを表していることが分かります。

 

実際の操作としては、

n に n+1 や n-1 を代入する

という操作です。

 

この代入操作はかなり自由です。

一般項 an=3n+1

に、n=5nを代入して

a5n=3×5n+1

とすることもできます。

 

上級者は、この添え字の調整をすると、

nの動く範囲が変わる

と言う点にも注意しておきましょう。

 

ポイント③ 「n」には好きなものを代入できる

ポイント①、②をまとめましょう。

文字「n」には、好きなものを代入できる

と言えます。

数でもいいし、数式でもいい。

とにかく、

文字「n」に好きなもの代入できる

という感覚が重要です。

 

ポイント④ 「……」をみたら、個数に注意

添え字のほかに、数列で頻出する記号がもう1つあります。

省略記号の「……」です。

 

1+2+……+100

のように使いますね。

 

この「……」ですが、大事なのは

「何個?」を意識することです。

 

例えば、

1+2+……+100

ですが、この場合は1~100までの「100個」の足し算を、

省略して書いています。

 

他の例として、

1, 2, 3, ……

のような使い方なら、「無限個」の数を省略しています。

 

毎回必要なわけではありませんが、

具体的な計算では「個数」が重要なケースがほとんどです。

「……」をみたら、「結局、何個?」がスッと浮かぶかどうがポイントです。

 

ポイント⑤ 足し算の「個数」は、具体例でチェック

ポイント④からの続きです。

では、具体的に足し算の「個数」はどう数えましょうか。

 

例えば、

50 + 51 + …… + 100

の計算を考えます。

何個の足し算か?

さえ分かれば、等差数列の和の公式からすぐに計算できます。

 

このとき、

100-50=50

だから、50個

とやりたい気持ちは分かりますが、間違いです。

正しくは、

100-50+1=51

だから、51個

とします。

 

うっかりやすいですよね。

こういうときは、

「数が少ない具体例」

でチェックするのが大切です。

 

先ほどの例だったら、

50+51

という簡単な例で考えてみます。

これは2個の足し算ですね。

すると、

51-50=1

は誤りで、

51-50+1=2

と考えなきゃいけないな、と分かります。

 

文字が絡んでいても一緒です。

文字に具体的な数を代入したり、個数の少ない場合で考えたりして、

「個数」を正確に把握しましょう。

 

ポイント⑥ 「数列の和」と「階差」は逆の関係

数列anに対して、

Sn=a1+a2+……+an

bn=an+1-an

などを、これまでの学習で考えてきました。

 

このSnやbnも、新しい数列になっていますね。

Snを数列の和、bnを階差と言いました。

 

この2つの操作ですが、互いに逆の関係になっています。

例えば、

数列の和Snの階差

を考えてみます。

 

Sn+1-Sn

が数列Snの階差です。

Sn+1=a1+a2+……+an+an+1

Sn  =a1+a2+……+an

ですから、

Sn+1-Sn=an+1

となります。

 

数列の和の階差は、元の数列

という意味です。

 

逆に階差の和がどうなるか考えてみましょう。

実は、これはすでに学習済みです。

an=a1+Σbk

という階差数列の一般項の考え方から、

階差数列の和は、元の数列

と言えます。

 

このように、「数列の和」と「階差」は、

互いに対になる操作になっています。

和の階差は、元にもどる

階差の和は、元にもどる

という関係です。

(微分と積分の関係に似ていますね。)

 

 

今更ながら、基本的な内容の確認をしました。

「基本」と言いましたが、

「記号の意味」「記号に慣れる」を意識しないと、

習得できない内容です。

 

特に添え字の扱いはかなり重要です。

ポイント⑥では、

Sn  =a1+a2+……+an

から、

Sn+1=a1+a2+……+an+an+1

としました。

この辺りがサラリとできるのも、添え字の扱いです。

同時に、

「……」は何個?

も意識して処理しています。

 

地味ながら重要で、ひっかかりやすいポイントです。

すぐに習得するのは難しいので、

普段の問題演習で意識して、習熟していきましょう。

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