るるぶ高校数学 数Ⅰ ③2次関数 その6 2次方程式|中学受験エリート

るるぶ高校数学 数Ⅰ ③2次関数 その6 2次方程式

こんにちは!

大学受験エリートのSuuです。

 

高校数学の勉強ポイント、落とし穴などを紹介する

るるぶ高校数学のシリーズです。

 

今回は、

数Ⅰ 2次関数 その6 2次方程式

です。

前回

 

2次関数の最大・最小はいかがでしょう。

場合分けが入った応用編は、中々に大変です。

習得するまでにかなりの練習が必要だと思います。

前回、前々回の記事も参考にしながら、じっくり取り組みましょう。

 

さて、今回は2次方程式の話題に入ります。

中学校でも習っている内容ですし、

「2次方程式の解き方」

自体は、中学校から変わりません。

そういう意味では負担の軽い内容なので、安心してのぞみましょう。

 

中学校と同じ! では味気ないので……

高校の数学としてはどこに注目するのか?

にも注目して、この記事では紹介していきましょう。

 

ポイント① 因数分解、平方完成、解の公式の3パターンの解法を整理しよう

2次方程式の解き方は次の3パターンです。

 

パターン㋐ 因数分解

2x2+x-1=0

(x+1)(2x-1)=0

x=-1,1/2

 

パターン㋑ 平方完成

(x-1)2=9

x-1=±3

x=1±3

x=4,-2

 

パターン㋒ 解の公式

x2+x-1=0

x=(-1±√5)/2

 

㋐の因数分解は、

決まれば解の公式に比べて圧倒的に早い

というのがメリットですが、一方で

因数分解できる場合でないと、解けない

というデメリットがあります。

 

㋑の平方完成は、

特定の形なら最速で処理できる

というメリットがある一方、

一般形から平方完成すると大変

というのがデメリットです。

 

㋒の解の公式は、

どんな形の2次方程式でも処理できる

というのが自慢です。一方で、その汎用性の代わりに

計算が一番大変

という悩みを抱えています。

 

 

考える順番としては、特殊性が高く、決まったときのメリットが大きい順に疑います。

つまり、

㋑ 平方完成

㋐ 因数分解

㋒ 解の公式

の順番に考えましょう。

 

具体的には、

すでに平方完成されていて、平方根をとるだけで解ける形になっていないか?

→因数分解を利用して解けないか?

→仕方ない、解の公式を使おう

という順番で考えていきます。

 

基本問題で十分ですから、繰り返し2次方程式を解く練習をして、

もっとも的確な方針で解けるようになりましょう。

 

ポイント② 応用問題では、解の公式はなるべく使わない

これは上級者向けのアドバイスです。

解の公式は、どんな2次方程式に対しても解を与えてくれます。

その汎用性は大変魅力で、色々な場面で使いたくなります。

 

ただ、係数に文字入った実戦的な2次方程式では、

むしろ

解の公式をいかに使わないで戦うか

を考えることも重要です。

解の公式を使うと、「±」が出て来たり、平方根が出て来たりして、

その後の処理が厄介になることが多いです。

 

上級者は、解の公式では解決できない問題が、

今後色々と出てくることも頭の片隅に入れておきましょう。

 

ポイント③ 2次方程式をグラフと対応させて捉える

ここが、中学数学との違いです。

2次方程式の解が、

グラフとx軸の交点

であることをしっかり意識しましょう。

 

2次方程式の解の挙動は、

2つの異なる実数解をもつ

重解をもつ

実数解をもたない

の3パターンがあります。

 

このそれぞれのパターンについて、

関数のグラフはどうなっているのか?

がパッと浮かぶようにしましょう。

 

この、

方程式の解→代数的な情報

グラフのようす→図形的な情報

をしっかり対応させて理解していることがポイントです。

 

そうそう……方程式の「解なし」って何?

と悩む人は、

「方程式の意味」

「解の意味」

を見直しましょう。

また、「解なし」の解釈も、

グラフと対応させると納得しやすいです。

 

関数とグラフ、方程式を対応させる考え方は、2次関数に限らず、

今後の関数の扱いの基本になります。

キッチリ意識して、習得しましょう。

 

ポイント④ 判別式もグラフのようすと対応させて理解する

新しい道具として、

判別式

を習うはずです。

 

判別式は、最初は慣れない考え方かもしれません。

判別式の符号を見れば、2次方程式の実数解の個数が分かる

というものです。

 

イメージとしては……そうですね、直線y=ax+bの傾き「a」が近いかもしれません。

傾き「a」の符号で、直線のグラフが右肩上がりが、右肩下がりかが判定できます。

同じように、「判別式の符号を見れば、2次方程式の実数解の個数が分かる」ようなイメージです。

 

この判別式も、単に「実数解の個数」ではなく、

グラフのようすと対応させて理解しましょう。

判別式の符号と、x軸との位置関係の対応関係がスッと浮かぶことがポイントです。

 

ポイント⑤ 実は、2次方程式の判別式は……

これは、上級者向け……いや、マニア向けの補足ポイントです。

普通の受験生は気にしなくてOKです。

非常に個人的な悩みなので、読み飛ばすのを推奨します。

 

判別式なのですが、3次、4次、……と、何次の方程式に対しても定義されます。

その判別式は、

「重解をもつかどうか」

を判定する道具です。

 

難しい話になりますが、

「解の差積の2乗」

が判別式の定義です。

定義からただちに、

重解をもつ⇔判別式=0

が従います。

一方、「解の差積の2乗」は「解の対称式」であるため、

解の基本対称式……つまり、もとの方程式の係数で表せます。

(解と係数の関係ですね。)

 

ごちゃごちゃと抽象的な話を並べました。

理由をすっ飛ばして結論を書くと、

判別式は、元の方程式の係数から計算できて、

判別式の値から重解の判定ができる

ということです。

つまり、

「方程式の解」が何かは分からないのに、

方程式が重解をもつかどうかが分かる

というのが判別式のミソです。

ここが、判別式の美味しいところなのですよね。

 

だから。

2次方程式のように、簡明な解の公式があって、

「解が分かっている」方程式に対しては、

判別式のありがたみがない

という感覚があります。

そのため、個人的に2次方程式の判別式はあまり好きではありません。

「判別式D!」とカッコつけていうのが、ちょっと違和感があります。

以上、個人的な小言でした。

 

 

2次方程式の勉強は、グラフとの対応を意識しましょう。

判別式も、最初は慣れないと思います。

そもそも、具体的な方程式に対しては判別式の意味はありません。

重解かどうかなんて、解を求めてしまえばいいのですからね。

判別式が役に立つのは、

「具体的な解が分からない、分かりにくい」

状況です。

そうですね……例えば、

係数に文字が入っている

ような場合です。

そのため、判別式が真価を発揮するのは応用問題になります。

電話 メール